Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Raaklijnen

12345Raaklijnen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

De raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Je tekent de raaklijn loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Je tekent een cirkel met middelpunt het midden van het lijnstuk tussen het middelpunt van de cirkel en het punt buiten de cirkel waar de raaklijn doorheen moet gaan. Deze cirkel snijdt je met de gegeven cirkel om ht raakpunt te krijgen.

Opgave 2

Doen, maak gebruik van de eigenschap dat die raaklijn loodrecht staat op straal $M P$ .

Bedenk nu dat er twee raaklijnen mogelijk zijn en dat bij elk van die raaklijnen $∠ M P Q$ recht moet zijn als $P$ het raakpunt is.
Om een rechthoekige driehoek te construeren moet je denken aan de stelling van Thales...
Dit wordt verder besproken in Voorbeeld 2.

Opgave 3

Antwoord.

Opgave 4

Doen.

Ja, als de koorde een middellijn is. Deze stelling geldt ook dan.

Opgave 5

$∠ B R C = ∠ B A C = 60 °$ (staan op dezelfde boog).
De raaklijn staat loodrecht op $M R$ dus de hoek tussen $C R$ en $r$ is $90 ° - 60 ° = 30 °$ . En daarom is $∠ B C R = 30 °$ (hoek tussen koorde en raaklijn).

$∠ B R A = ∠ B C A = 40 °$ (staan op dezelfde boog).
De raaklijn staat loodrecht op $M R$ dus de hoek tussen $A R$ en $r$ is $90 ° - 40 ° = 50 °$ .

Opgave 6

Gebruik de methode van Voorbeeld 2.

Opgave 7

Bewijs:
$| M A | = | M B |$ (straal cirkel), $| M P | = | M P |$ en $∠ M A P = ∠ M B P = 90 °$ (raaklijn). Dus is $∆ M A P ≅ ∆ M B P$ (ZZR).
Daarom is $| P A | = | P B |$ .
Q.e.d.

Opgave 8

Bewijs:
$| M A | = | M B |$ (straal cirkel), $| M P | = | M P |$ en $| P A | = | P B |$ . Dus is $∆ M A P ≅ ∆ M B P$ (ZZZ).
Daarom is $∠ M A P = ∠ M B P = 90 °$ (raaklijn).
Q.e.d.

Opgave 9

Doen. In GeoGebra kun je punten nog bewegen en dus beter zien wat er dan verandert en wat niet.

Doen.

Opgave 10

Bewijs:
$∠ B C P = ∠ A B C = α$ en $∠ C B P = ∠ A B C = α$ . (hoek raaklijn koorde)
Dus is $∠ P = 180 ° - 2 α$ . (hoekensom driehoek)
Zo gaan de andere twee ook.
Q.e.d.

Opgave 11

$∠ C B A = 180 ° - 50 ° - 30 ° = 100 °$ (hoekensom driehoek).
$∠ A R C = 180 ° - 100 ° = 80 °$ (koordenvierhoek).

$∠ B A R + ∠ B C R = 180 °$ (koordenvierhoek), dus $∠ A C R = 180 ° - 50 ° - 35 ° - 30 ° = 65 °$ .
En daarom is de hoek tussen $A R$ en $r$ ook gelijk aan $65 °$ (hoek raaklijn en koorde).

Opgave 12

Bewijs:
$∠ A = ∠ B = 90 °$ (raaklijn). Dus van vierhoek $A S B M$ is een paar overstaande hoeken samen $180 °$ en dus is die vierhoek een koordenvierhoek.
Q.e.d.

Bewijs:
$M A$ staat loodrecht op $l$ (raaklijn).
$M B$ staat loodrecht op $m$ (raaklijn).
$l$ en $m$ zijn evenwijdig.
Hieruit volgt: De lijnen $M A$ en $M B$ zijn loodlijnen van zowel $l$ als $m$ en hebben punt $M$ gemeen. Dus liggen $M$ , $A$ en $B$ op één lijn.
Q.e.d.

Opgave 13

Bewijs:
Omdat $M_{1} A = M_{1} B$ , $M_{2} A = M_{2} B$ en $M_{1} M_{2} = M_{1} M_{2}$ zijn de driehoeken $M_{1} M_{2} A$ en $M_{1} M_{2} B$ congruent en dus is $∠ M_{1} A M_{2} = ∠ M_{1} B M_{2}$ .
Beide hoeken zijn samen $180 °$ en dus elk $90 °$ . Dus $M_{1} A$ staat loodrecht op $M_{2} A$ en dus $M_{1} A$ is raaklijn aan $c_{2}$ .
Q.e.d.

Opgave 14

Maak zelf een figuur.

Bewijs:
De vierhoek $A P B M$ is een koordenvierhoek omdat de hoeken $M A P$ en $M B P$ recht zijn en samen dus $180 °$ zijn. En dus is ook $M A P + ∠ M B P = 180 ° -$ . Hiermee is het bewijs geleverd.
Q.e.d.

Opgave 15

Maak de constructie in GeoGebra.

Teken de lijn door de middelpunten $M$ en $N$ van de cirkels. Teken in $M$ en $N$ loodlijnen op $M N$ . Bepaal de snijpunten $P$ en $Q$ van de loodlijnen met de cirkels. De lijn $P Q$ is de gevraagde raaklijn.

Maak de constructie in GeoGebra.

Teken de lijn door de middelpunten $M$ en $N$ van de cirkels. Bepaal het midden $A$ van het lijnstuk $M N$ . Teken de twee cirkels met middellijnen $M A$ en $N A$ . De snijpunten $P$ en $Q$ van deze cirkels met de oorspronkelijke cirkels zijn de raakpunten van de raaklijn aan de twee cirkels.

Opgave 16

$∠ C R B = ∠ C A B = 32 °$ (staan op dezelfde boog).
En daarom is de hoek tussen $R B$ en $r$ gelijk aan $58 °$ (raaklijn).

Teken lijnstuk $R A$ .
$∠ B R A = 90 °$ (Thales), dus is de hoek tussen $R A$ en $r$ gelijk aan $180 ° - 90 ° - 58 ° = 32 °$ .
En daarom is $∠ R B A = 32 °$ (hoek raaklijn en koorde).

Opgave 17

Maak zelf een tekening, neem punt $B$ dichter bij $P$ dan punt $C$ .

Bewijs:
$∠ P A B = ∠ A C B$ . (hoek raaklijn koorde)
En $∠ P B A = 180 ° - ∠ C B A$ .
In $∆ P B A$ geldt nu $∠ P + ∠ P B A + ∠ P A B = 180 °$ (hoekensom driehoek) en dus is $∠ P = 180 ° - ∠ P B A - ∠ P A B = 180 ° - (180 ° - ∠ C B A) - ∠ A C B = ∠ C B A - ∠ A C B$ .
Q.e.d.

Opgave 18

Bewijs:
Stel eerst vast dat in rechthoekige driehoek $A B Q$ geldt $∠ B A Q + ∠ B Q A = 90 °$ . Verder is $∠ B Q P = 45 °$ .
Nu is $∠ U M T = ∠ P M U + ∠ P M T$ .
En $∠ P M U = 2 \cdot ∠ P R U = 2 \cdot ∠ B P V = 2 \cdot ∠ B A Q$ . (middelpuntshoek is twee keer omtrekshoek, hoek koorde en raaklijn)
Ook is $∠ P M T = 2 \cdot ∠ P Q T = 2 \cdot (∠ B Q A - ∠ B Q P) = 2 \cdot (∠ B Q A - 45 °)$ . (middelpuntshoek is twee keer omtrekshoek, hoek koorde en raaklijn)
En dus is $∠ U M T = 2 \cdot ∠ B A Q + 2 \cdot (∠ B Q A - 45 °) = 2 \cdot (∠ B A Q + ∠ B Q A) - 90 ° = 2 \cdot 90 ° - 90 ° = 90 °$ .
Q.e.d.

verder | terug