Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Raaklijnen

12345Raaklijnen

Voorbeeld 1

Bekijk de applet: omgekeerde koordenvierhoekstelling

Bewijs de "stelling hoek tussen koorde en raaklijn" :
"De hoek tussen een raaklijn aan een cirkel en een koorde van die cirkel waarvan een eindpunt het raakpunt is, is even groot als de bij die koorde behorende omtrekshoek."

> antwoord

Gegeven:
Raaklijn $r$ met raakpunt $R$ aan een gegeven cirkel en koorde $A R$ van die cirkel. De omtrekshoek bij koorde $A R$ is ∠ $A P R$ . De hoek tussen $A R$ en de raaklijn is $α$ .

Te bewijzen:
$∠ A P R = α$ .

Bewijs:
$∠ M R A = 90 ° - α$ (rechte hoek).
Omdat $| M R | = | M A |$ is $∠ M R A = ∠ M A R$ (stelling gelijkbenige driehoek).
En dus is $∠ A M R = 180 ° - 2 (90 ° - α) = 2 α$ . (hoekensom driehoek).
De omtrekshoek $∠ A P R$ is de helft van de middelpuntshoek $∠ A M R$ en dus gelijk aan $α$ (omtrekshoek).
Q.e.d.

Opgave 4

In Voorbeeld 1 wordt de "stelling hoek tussen koorde en raaklijn" bewezen.

Teken zelf een cirkel met middelpunt $M$ , koorde $P Q$ en een raaklijn in $Q$ aan de deze cirkel. Lever met behulp van deze figuur het bewijs van de genoemde stelling zonder naar het bewijs in het voorbeeld te kijken.

Kan de hoek tussen de raaklijn en de koorde recht zijn? En geldt dan de stelling nog steeds?

Opgave 5

In de figuur hiernaast is $r$ een raaklijn aan de gegeven cirkel.

Bereken de hoeken waarin een vraagteken staat.

verder | terug