Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Raaklijnen

12345Raaklijnen

Voorbeeld 3

Bekijk de applet.

Twee cirkels $c_{1}$ en $c_{2}$ raken elkaar in $R$ en hebben daar dus een gemeenschappelijke raaklijn. Een lijn door $R$ snijdt $c_{1}$ in $P_{1}$ en $c_{2}$ in $P_{2}$ . Een lijn door $P_{1}$ snijdt $c_{1}$ in $Q_{1}$ . Een lijn door $P_{2}$ snijdt $c_{2}$ in $Q_{2}$ . De lijnen $P_{1} Q_{1}$ en $P_{2} Q_{2}$ snijden elkaar in $S$ . Bewijs dat $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $S$ en $R$ op één cirkel liggen.

> antwoord

Te bewijzen:
Vierhoek $Q_{1} Q_{2} S R$ is een koordenvierhoek.

Bewijs:
Noem de hoek van koorde $R Q_{1}$ met de raaklijn $α$ en de hoek van koorde $R Q_{2}$ met de raaklijn $β$ . Dan is $∠ R P_{1} Q_{1} = α$ en $∠ R P_{2} Q_{2} = β$ (hoek tussen koorde en raaklijn).
$∆ S P_{1} P_{2}$ is $∠ P_{1} S P_{2} = 180 ° - α - β$ (hoekensom driehoek).
En $∠ Q_{1} R Q_{2} = α + β$ . Dus $∠ P_{1} S P_{2} + ∠ Q_{1} R Q_{2} = 180 °$ .
En daarom is vierhoek $Q_{1} Q_{2} S R$ een koordenvierhoek (koordenvierhoek).
Q.e.d.

Opgave 9

Bekijk Voorbeeld 3.

Teken zelf de figuur, of (nog mooier) maak hem in GeoGebra en probeer eerst om zelf het bewijs te vinden.

Loop het bewijs na, geef de hoeken $α$ en $β$ in je figuur aan.

Opgave 10

$∆ A B C$ heeft hoeken $∠ A = α$ , $∠ B = β$ en $∠ C = γ$ .
De raaklijnen in de hoekpunten $A$ , $B$ en $C$ aan de omgeschreven cirkel van deze driehoek vormen $∆ P Q R$ .

Bewijs dat $∠ P = 180 ° - 2 α$ , $∠ Q = 180 ° - 2 β$ en $∠ R = 180 ° - 2 γ$ .

verder | terug