Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Totaalbeeld

12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Gegevens en te bewijzen: zie opgave en figuur.

Bewijs:
$A B / / C D$ dus $∠ C D B = ∠ A D B$ (Z-hoeken).
Dus boog $A D$ = boog $B C$ (gelijke omtrekshoeken).
Hieruit volgt: $A D = B C$ (boog en koorde).
Q.e.d.

Opgave 2

Gegeven:
$Δ A B C$ met $| A B | = 2 \cdot | C D |$ en $| A D | = | D B |$ ( $C D$ is immers zwaartelijn).

Te bewijzen:
$∠ C = 90 °$ .

Bewijs:
$| A D | = | D B | = 0,5 \cdot | A B | = | C D |$ . Dus de punten $A$ , $B$ en $C$ liggen op dezelfde afstand van punt $D$ , dus op een cirkel met middelpunt $D$ en middellijn $A B$ . (cirkel) Dus is $∠ C = 90 °$ . (omgekeerde stelling van Thales)
Q.e.d.

Opgave 3

Maak een bijpassende figuur.

Bewijs:
Teken op $A P$ het punt $Q$ zo, dat $P Q = B P$ .
Teken lijnstuk $B Q$ .
Omdat $∠ A P B = ∠ A C B = 60 °$ (staan op dezelfde koorde) is $∆ B P Q$ gelijkzijdig.
Hieruit volgt dat $∆ A B Q ≅ ∆ C B P$ (ZHH). En dus is $A Q = C P$ .
En dus is $A P = A Q + Q P = B P + P C$
Q.e.d.

Opgave 4

$∠ A S E = 25 °$ (overstaande hoeken).
$∠ A S B = 180 ° - 25 ° = 155 ° = ∠ E S C$ .
Teken $M A$ en $M D$ . Beide zijn even lang als $M E$ en $E D$ .
$∠ M E D = 60 °$ want $∆ M D E$ is een gelijkzijdige driehoek en heeft dus drie gelijke hoeken.
$∠ A M E = 180 ° - 2 \cdot 70 ° = 40 °$ (gelijkbenige driehoek).
$∠ A B E = \frac{1}{2} \cdot ∠ A M E = 20 °$ (stelling van de omtrekshoek).
$∠ B A S = 180 ° - 155 ° - 20 ° = 5 °$ .
$∠ S M A = 180 ° - 40 ° = 140 °$ .
$∠ S A E = 70 ° + ∠ M A S = 70 ° + 180 ° - ∠ S M A - ∠ A S E = 85 °$ .
Trek lijnstuk $E C$ .
$∠ E C A = ∠ A B E = 20 °$ (boog en koorde).
$∠ B E C = ∠ B A C = 5 °$ (boog en koorde).
$A B C E$ is koordenvierhoek, dus $∠ C B E + ∠ E B A = ∠ E A B + ∠ B E C$ .
Dit betekent dat $∠ C B E = 85 °$ en $∠ S C B = 180 ° - 20 ° - 85 ° = 70 °$ .
$B D C E$ is koordenvierhoek, dus $∠ B C D = 180 ° - ∠ B E D = 120 °$ en $∠ A C D = 120 ° - 70 ° = 50 °$ . En verder is $∠ E D C = 180 ° - ∠ C B E = 180 ° - 85 ° = 95 °$ .

Opgave 5

Maak een geschikte tekening.

Bewijs:
$E C M B$ is een koordenvierhoek want bevat twee tegenover elkaar liggende rechte hoeken (stelling koordenvierhoek). Omdat $| M C | = | M B |$ , $| E M | = | E M |$ en $∠ E C M = ∠ E B M = 90 °$ is $∆ E C M ≅ ∆ E B M$ (ZZR). En dus is $∠ E M C = ∠ E M B$ .
Op dezelfde manier bewijs je dat $∠ A M D = ∠ D M C$ .
Dus $∠ E M D = \frac{1}{2} \cdot ∠ B M A$ .
Omdat $∠ B = ∠ A = 90 °$ is vierhoek $P A M B$ een koordenvierhoek (stelling koordenvierhoek). En dus is $∠ A M B = 180 ° - ∠ A P B$ .
En daarom is $∠ E M D = \frac{1}{2} \cdot ∠ B M A = \frac{1}{2} \cdot (180 ° - ∠ A P B)$ .
Q.e.d.

Opgave 6

Gegeven:
Vierhoek $A B C D$ met $∠ A = α$ , $∠ B = β$ , $∠ C = γ$ en $∠ D = δ$ . In deze vierhoek zijn vier bissectrices getekend. Punt $P$ is het snijpunt van de bissectrice van $∠ A$ en $∠ D$ , punt $Q$ is het snijpunt van de bissectrice van $∠ A$ en $∠ B$ , punt $R$ is het snijpunt van de bissectrice van $∠ B$ en $∠ C$ en punt $S$ is het snijpunt van de bissectrice van $∠ C$ en $∠ D$ .

Te bewijzen:
$P Q R S$ is een koordenvierhoek.

Bewijs:
In $∆ A P D$ is $∠ A P D = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} δ$ (hoekensom driehoek), dus $∠ Q P S = ∠ A P D = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} δ$ (overstaande hoeken).
In $∆ B R C$ is $∠ B R C = 180 ° - \frac{1}{2} β - \frac{1}{2} γ$ (hoekensom driehoek), dus $∠ Q R S = ∠ B R C = 180 ° - \frac{1}{2} β - \frac{1}{2} γ$ (overstaande hoeken).
En daarom geldt: $∠ Q P S + ∠ Q R S = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} δ + 180 ° - \frac{1}{2} β - \frac{1}{2} γ = 360 ° - \frac{1}{2} \cdot 360 ° = 180 °$ (hoekensom vierhoek). Van vierhoek $P Q R S$ zijn daarom de tegenover elkaar liggende hoeken samen $180 °$ en dus is deze vierhoek een koordenvierhoek.
Q.e.d.

Opgave 7Regelmatige veelhoeken construeren met passer en liniaal

Regelmatige veelhoeken construeren met passer en liniaal

Doen, begin met een regelmatige driehoek in een cirkel, maak daarvan een regelmatige zeshoek met behulp van bissectrices. Maak vervolgens van die regelmatige zeshoek weer een regelmatige twaalfhoek.

Neem $k = 0, 1, 2, 3, ...$ en vul dit in de formule in. De niet-priemgetallen doe je weg.

Eigen antwoord.

Opgave 8De stelling van Ptolemaeus

De stelling van Ptolemaeus

Doen.

Vierhoek $A B C D$ is een koordenvierhoek dus $∠ A D C + ∠ A B C = 180 °$ . Ook is $∠ A B C + ∠ C B E = 180 °$ (gestrekte hoek).
Dus is: $∠ A D C = ∠ C B E$ . Ook is $∠ B C E = ∠ A C D$ en dus is $∆ A C D \sim ∆ E C B$ (hh).
Verder volgt uit $∠ B C E = ∠ A C D$ dat $∠ A C E = ∠ D C D$ en omdat ook $∠ B A C = ∠ B D C$ (staan beide op koorde $B C$ ) is $∆ A C E \sim ∆ D C B$ (hh).

Maak verhoudingstabellen bij beide sets gelijkvormige driehoeken en zet de gekozen letters op de juiste plek.

Uit de verhoudingstabellen vind je ook $| B E | = \frac{d b}{c}$ . Dit vul je in de uitdrukking bij c in en het bewijs wordt compleet...

Opgave 9De macht van een punt ten opzichte van een cirkel

De macht van een punt ten opzichte van een cirkel

Globale opzet van het bewijs:
Teken de situatie met twee lijnen $l_{1}$ met daarop de snijpunten $A_{1}$ en $B_{1}$ en $l_{2}$ met daarop de snijpunten $A_{2}$ en $B_{2}$ door $P$ .
Laat zien dat de driehoeken $P A_{1} B_{2}$ en $P A_{2} B_{1}$ gelijkvormig zijn. Daaruit volgt $| P A_{1} | \cdot | P B_{1} | = | P A_{2} | \cdot | P B_{2} |$ . Kennelijk is dus $| P A | \cdot | P B |$ constant.
Vallen beide punten samen, dan krijg je $A = B = Q$ en zie je dat $| P A | \cdot | P B | = {| P Q |}^{2}$ .

Opgave 10De rechte van Wallace

De rechte van Wallace

Globale opzet van het bewijs:
Maak gebruik van koordenvierhoeken om aan te tonen dat bij punt $E$ twee overstaande hoeken gelijk zijn. En laat met behulp daarvan zien dat (bijvoorbeeld) $∠ D E P + ∠ P E F = 180 °$ .

Opgave 11Op één lijn

Op één lijn

Bewijs:
$∠ P S T = ∠ S P T$ . (hoek tussen koorde en raaklijn)
Dus $| P T | = | S T |$ . (gelijkbenige driehoek)
Zo ook $| S T | = | Q T |$ .
Dus $P$ , $Q$ en $S$ liggen op één cirkel met middelpunt $T$ .
Q.e.d.

Bewijs:
$∠ P S Q = 90 °$ en $∠ Q S R = 90 °$ . (Thales)
$∠ P S Q + ∠ Q S R = 180 °$ , dus $P$ , $S$ en $R$ liggen op één lijn.
Q.e.d.

(bron: examen wiskunde B1,2 vwo 2002, eerste tijdvak)

Opgave 12Constante booglengte

Constante booglengte

Bewijs:
$∠ X = ∠ Y$ en $∠ Y P_{2} B = ∠ X Q_{1} A$ . (stelling omtrekshoek)
$∠ Y B P_{2} = ∠ X A Q_{1}$ . (hoekensom driehoek)
$∠ P_{1} A Q_{1} = ∠ Q_{2} B P_{2}$ . (gestrekte hoek)
Dus de bogen $P_{1} Q_{1}$ en $P_{2} Q_{2}$ zijn even groot.
Q.e.d.

(bron: examen wiskunde B1,2 vwo 2003, eerste tijdvak)

Opgave 13Een geodriehoek

Een geodriehoek

Bewijs:
$A B ⊥ B C$ en $A B = B C$ , dus $∠ A C B = 45 °$ . (gelijkbenige rechthoekige driehoek)
$∠ A C E = 180 ° - ∠ A C B = 135 °$ . (gestrekte hoek)
$∠ A C E + ∠ A D E = 135 ° + 45 ° = 180 °$ dus $A C E D$ is een koordenvierhoek. (koordenvierhoek)
Q.e.d.

Bewijs:
De punten $A$ , $C$ , $E$ en $D$ liggen op een cirkel. (koordenvierhoek)
$∠ A E D = ∠ A C D = 90 °$ (constante hoek), dus driehoek $A E D$ is rechthoekig.
$∠ P_{1} A Q_{1} = ∠ Q_{2} B P_{2}$ . (gestrekte hoek)
$∠ D A E = 180 ° - 90 ° - 45 ° = 45 °$ . (hoekensom driehoek)
$∠ A D E = ∠ D A E$ , dus driehoek $A E D$ is gelijkbenig. (gelijkbenige driehoek)
Driehoek $A E D$ is dus rechthoekig en gelijkbenig en daarom een geodriehoek.
Q.e.d.

(bron: examen wiskunde B vwo 2010, eerste tijdvak)

verder | terug