Vierhoeken en cirkels

Opgave 7Regelmatige veelhoeken construeren met passer en liniaal

Regelmatige veelhoeken construeren met passer en liniaal

Veel regelmatige veelhoeken kun je met passer en liniaal construeren. Vanuit een gelijkzijdige driehoek construeer je een regelmatige zeshoek, 12-hoek, 24-hoek, etc. Maar niet voor alle gehele $n$ is een regelmatige $n$ -hoek te construeren.

Hier zie je de constructie van een regelmatige zeshoek vanuit een regelmatige driehoek (een gelijkzijdige driehoek). Zo kun je door bisectie van de hoeken om het middelpunt een regelmatige 12-hoek, 24-hoek, etc., maken. Vanuit een regelmatige vierhoek (een vierkant) maak je een regelmatige 8-hoek, een regelmatige 16-hoek, etc. Leuk om even zelf te doen...

a

Teken een regelmatige twaalfhoek.

Een regelmatige 5-hoek is al lastiger omdat je bij constructies niet met graden werkt, maar het kan wel.
Gauss bewees dat je ook een 17-hoek kunt construeren. Veel later is aangetoond dat een $n$ -hoek construeerbaar is voor elke $n$ die de vorm $2^{2^{k}} + 1$ heeft en bovendien een priemgetal is. Ga na dat dit $n = 5$ , $n = 17$ , $n = 257$ , $n = 65537$ oplevert, maar niet $n = 4294967297 = 641 \times 6700417$ .

b

Laat zien dat dit inderdaad de genoemde getallen oplevert.

c

Zoek uit hoe je een regelmatige vijfhoek kunt construeren zonder hoeken te meten of te berekenen.

Opgave 8De stelling van Ptolemaeus

De stelling van Ptolemaeus

Ptolemaeus (Alexandrië, ongeveer 90 - ongeveer 150) schreef de "Almagest" , een werk over astronomie dat via een Arabische vertaling bewaard is gebleven en naar het Latijn is vertaald.

Hij bewees ook de stelling: "In een koordenvierhoek is het product van de lengtes van de diagonalen gelijk aan de som van de producten van de overstaande zijden."

a

Teken een koordenvierhoek $A B C D$ met $| A B | = a$ , $| B C | = b$ , $| C D | = c$ , $| D A | = d$ en diagonalen met $| A C | = p$ en $| B D | = q$ .

Je moet nu bewijzen dat $p q = a c + b d$ .

b

Kies een punt $E$ op het verlengde van $A B$ zo, dat $∠ B C E = ∠ A C D$ . Bewijs nu dat $∆ A C D \sim ∆ E C B$ en $∆ A C E \sim ∆ D C B$ .

c

Laat zien, dat daaruit volgt $p q = c (a + | B E |)$ .

d

Druk $| B E |$ uit in $b$ , $c$ en $d$ en voltooi het bewijs.

Opgave 9De macht van een punt ten opzichte van een cirkel

De macht van een punt ten opzichte van een cirkel

Bekijk de applet.

Hier zie je een punt $P$ buiten een cirkel. $P Q$ is een raaklijn aan deze cirkel, $Q$ is het raakpunt. Lijn $l$ gaat door $P$ en snijdt de cirkel in $A$ en $B$ .

Bewijs dat $| P A | \cdot | P B | = {| P Q |}^{2}$ een constante is voor punt $P$ , dus gelijk blijft ook als je punt $A$ (en dus ook $B$ ) verplaatst. Deze constante heet de macht van dit punt ten opzichte van de cirkel.

Opgave 10De rechte van Wallace

De rechte van Wallace

Bekijk de applet.

Laat vanuit een punt $P$ op de omgeschreven cirkel van $∆ A B C$ loodlijnen neer op de (verlengden van de) zijden van deze driehoek. Je krijgt dan de punten $D$ , $E$ en $F$ op respectievelijk $A B$ , $B C$ en $A C$ .

Bewijs dat de punten $D$ , $E$ en $F$ op één lijn liggen. Deze lijn heet de rechte van Wallace.

Toepassen