Vierhoeken en cirkels

Opgave 11Op één lijn

Op één lijn

In deze figuur zijn twee elkaar rakende cirkels $c_{1}$ en $c_{2}$ getekend met middelpunten respectievelijk $M_{1}$ en $M_{2}$ . Het raakpunt van deze cirkels is $S$ . Lijn $l$ raakt $c_{1}$ in $P$ en $c_{2}$ in $Q$ . De gemeenschappelijke raaklijn aan $c_{1}$ en $c_{2}$ in $S$ snijdt lijn $l$ in punt $T$ .

a

Bewijs dat de punten $P$ , $Q$ en $S$ op één cirkel met middelpunt $T$ liggen.

Verder is gegeven dat $Q R$ een middellijn van $c_{2}$ is.

b

Bewijs dat $P$ , $S$ en $R$ op één lijn liggen.

(bron: examen wiskunde B1,2 vwo 2002, eerste tijdvak)

Opgave 12Constante booglengte

Constante booglengte

Twee cirkels $c_{1}$ en $c_{2}$ snijden elkaar in de punten $A$ en $B$ . $A$ en $B$ verdelen $c_{1}$ in twee bogen: de ene boog ligt binnen $c_{2}$ , de andere boog ligt buiten $c_{2}$ . Op de boog van $c_{1}$ buiten $c_{2}$ liggen de punten $X$ en $Y$ . De lijnen $A X$ en $B X$ snijden $c_{2}$ nog in de punten $P_{1}$ en $Q_{1}$ . De lijnen $A Y$ en $B Y$ snijden $c_{2}$ nog in de punten $P_{2}$ en $Q_{2}$ .

Bewijs dat de bogen $P_{1} Q_{1}$ en $P_{2} Q_{2}$ even groot zijn.

(bron: examen wiskunde B1,2 vwo 2003, eerste tijdvak)

Opgave 13Een geodriehoek

Een geodriehoek

Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen $k$ en $m$ en een punt $A$ er tussenin. Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten samen met punt $A$ de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek. Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt $A$ op $k$ ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is.

Op $k$ zijn de punten $B$ en $C$ getekend zo dat $A B ⊥ B C$ en $A B = B C$ . Punt $D$ is op $m$ getekend zo dat $D C ⊥ A C$ . Op $k$ is vervolgens punt $E$ getekend zo dat $∠ A D E = 45 °$ . Er geldt: vierhoek $A C E D$ is een koordenvierhoek.

a

Bewijs dit.

b

Bewijs dat driehoek $A E D$ een geodriehoek is.

(bron: examen wiskunde B vwo 2010, eerste tijdvak)

Examenopgaven