$P$ is het snijpunt van de middelloodlijn van $FQ$ en de straal $MQ$.

Omdat $\left|MP\right|+\left|PQ\right|=r$ en $\left|PQ\right|=\left|FP\right|$.

Omdat $\left|MB\right|+\left|PB\right|=r$ en $\left|AB\right|=\left|AM\right|+\left|MB\right|=\left|PB\right|+\left|MB\right|$.

$MF$ snijdt de cirkel aan de kant van $F$ in punt $A$. Het gevraagde punt $P$ is het midden van $AF$.

De punten van de middelloodlijn van $FQ$.

Omdat $\text{d}(P,c)=\left|PQ\right|$, $\text{d}(P,F)=\left|PF\right|$ en $\left|PQ\right|=\left|PF\right|$.

Doen, je krijgt een eerste beeld van een hyperbool.

De punten $M$ en $F$.

$5$ cm.

$\left|AB\right|=5$ cm. $\left|CE\right|$ bereken je met de stelling van Pythagoras in bijvoorbeeld $\text{∆}MCE$: $\left|CE\right|=\sqrt{{2.5}^2-{1.5}^2}=2$, dus $\left|DE\right|=4$ cm.

Alleen de punten van het deel van de hyperbool die geheel buiten de cirkel ligt voldoen aan $\text{d}(P,c)=\text{d}(P,F)$.
De punten van de andere tak van de parabool kunnen ontstaan als je vanuit $M$ geen halve lijn door $Q$ trekt, maar gewoon een lijn. De middelloodlijn van $FQ$ snijdt lijn $MQ$ dan ook in punten die op de tweede tak van de hyperbool liggen.

$5$ cm.

Dan hebben ze geen snijpunt $P$ en dan is de middelloodlijn van $FQ$ een asymptoot van de hyperbool.

Als de straal van $c_3$ gelijk is aan het verschil van de stralen van $c_1$ en $c_2$, dan volgt uit $\left|QP\right|=\left|M_{2}P\right|$ dat ook $\left|AP\right|=\left|BP\right|$ en dat zijn de afstanden van $P$ tot $c_1$ en $c_2$.

Doen, construeer minstens vijf punten van de hyperbool en schets hem dan. Het resultaat moet er ongeveer zo uitzien als de hyperbool in het voorbeeld.

Teken een lijn $k$ evenwijdig aan $l$ zo, dat $\text{d}(M,k)=8$ cm en construeer de parabool die de conflictlijn van $k$ en $M$ is.

Doen, teken minstens vijf punten van de conflictlijn.

Dat wordt een ellips door $(0,5)$ en $(0,-1)$. Construeer nog minstens vier andere punten met behulp van een punt $Q$ op de cirkel.

$\left|MP\right|+\left|PF\right|=\left|MP\right|+\left|PQ\right|=6$.

De middelloodlijn van $FQ$.

Dat wordt een hyperbool door $(0;\mathrm{4,5})$. Construeer nog minstens vier andere punten met behulp van een punt $Q$ op de cirkel.

$\left|MP\right|-\left|PF\right|=\left|MP\right|-\left|PQ\right|=4$.

De middelloodlijn van $FQ$.

Hij gaat in ieder geval door $(8,0)$, $(-2,0)$, $(3,4)$ en $(3,-4)$.

De korte as is $8$ cm en de lange as is $10$ cm.

De verticale as heeft een lengte van $2\sqrt{25-{(\frac{1}{2}p)}^2}$. Dus nu moet $\sqrt{25-\frac{1}{4}{p}^2}=2$. Dit geeft $p=\pm \sqrt{84}$.

Door $F$.
Maak voor het bewijs gebruik van de twee congruente driehoeken aan weerszijden van de middelloodlijn van $FQ$ waarvan $P$ een hoekpunt is. Daarmee kun je aantonen dat de hoek van inval (met de raaklijn in $P$ aan de ellips) gelijk is aan de hoek van weerkaatsing als de weerkaatste lichtstraal door $F$ gaat.

Je krijgt een ellips met brandpunten $A$ en $M$.

$6$ cm en $\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}$ cm.