Zie figuur.
Zie figuur.
De conflictlijn bestaat uit twee delen die bij elkaar komen op de bissectrice van
beide lijnen waar punt op ligt. Beide delen zijn een deel van de parabool die de conflictlijn is van en , respectievelijk .
Construeer van beide parabolen minstens vijf punten.
De richtlijn staat loodrecht op en een lijn die door gaat en loodrecht op die richtlijn staat, maakt een hoek van met .
Als het brandpunt is van de parabool, dan maakt ook een hoek van met , alleen aan de andere kant van die lijn. Verder ligt op , zodat het snijpunt is van en lijn . Nu punt bekend is kun je ook de richtlijn tekenen, die staat namelijk loodrecht op en heeft een afstand van tot punt .
Maak tenslotte de parabool af.
is het snijpunt van de middelloodlijn van en de lijn .
Bepaal de loodlijn in punt op de lijn . Deze loodlijn snijdt de cirkel in de punten en . Driehoek en driehoek zijn rechthoekige driehoeken.
Zie figuur.
I is een deel van de middelloodlijn van .
II is een deel van de ellips met brandpunten en die door het midden van gaat.
III is een deel van de middelloodlijn van vanaf het snijpunt met .
Bewijs:
en , dus (definitie parabool). Dus ligt op de middelloodlijn van (stelling middelloodlijn).
Q.e.d.
Bewijs:
als punt de loodrechte projectie van op lijn is.
Verder is de middelloodlijn van . Punt is het snijpunt van en .
De driehoeken en zijn congruent (ZHZ). En dus is .
Q.e.d.
Omdat de twee hoeken tussen lijn en de raaklijn overstaande hoeken en dus gelijk zijn.
De richtlijn van de parabool staat loodrecht op de symmetrieas op cm aan de andere kant van dan . Nu kun je de parabool en de lichtstralen construeren.
Doen, je krijgt een ellips.
Bekijk nog eens hoe je een ellips construeert. Neem voor de plaats van het potlood en en de twee spijkers. Nu is de constante lengte van het touw. Als je op halve lijn een punt tekent zo, dat , dan is gelijk aan de constante lengte van het touw en dus doorloopt een cirkel als je beweegt.
Bewijs:
Uit de gegevens volgt: en . Verder geldt en. Dus . Hieruit volgt: ligt op de middelloodlijn van (middelloodlijn).
Q.e.d.
De meetkundige plaats is een deel van de parabool met brandpunt en richtlijn . De eindpunten van het betreffende deel van de parabool zijn de eindpunten van de cirkelboog. De top van de parabool is getekend als midden van het loodlijnstuk vanuit op . Teken minstens twee andere punten van het deel van de parabool door een punt op te kiezen en het snijpunt van de middelloodlijn van en de loodlijn door op te bepalen (of: door een cirkelboog te tekenen met middelpunt en een straal die kleiner is dan de straal van de gegeven cirkelboog en snijpunten hiervan te bepalen met de lijn die parallel is met en die tussen en ligt zo dat de afstand tot gelijk is aan de straal van de nieuwe cirkelboog).
(bron: examen wiskunde B vwo 2011, tweede tijdvak)
De raaklijn is de middelloodlijn van , waarbij de loodrechte projectie van op de richtlijn van de parabool is.
Teken punt en vervolgens de richtlijn van de parabool door en loodrecht op .
Nu kun je de parabool afmaken.
(bron: examen wiskunde B1,2 vwo 2006, tweede tijdvak)