Logaritmische functies

Opgave De wet van Benford

De wet van Benford

In 1881 ontdekte Simon Newcomb een bijzondere eigenschap van sommige reeksen getallen. Hij keek steeds naar het begincijfer van de getallen in zo’n reeks en constateerde dat daarbij lage begincijfers veel vaker voorkomen dan hoge begincijfers. Een voorbeeld van zo’n reeks getallen zijn de beurskoersen die elke dag in de krant verschijnen. De lijst met beurskoersen van vrijdag 10 september 2004 begon met de getallen:

17,75	9,15	5,30	28,07	11,02	6,66	39,67	18,73	1,59	1,53	24,29	41,00
20,37	42,31	6,32	5,03	26,08	19,33	10,77	19,39	50,15	1,54	21,86	13,64

Je kunt hier bijvoorbeeld zien dat bij deze reeks getallen het begincijfer 1 veel vaker voorkomt dan het begincijfer 6 (tien keer tegen twee keer).
In 1938 deed Frank Benford uitgebreid onderzoek naar dit verschijnsel. Hij bekeek onder andere de wateroppervlakte van een groot aantal rivieren. Het resultaat van zijn onderzoek vind je in deze tabel.

wateroppervlakte van rivieren
begincijfer	1	2	3	4	5	6	7	8	9
frequentie	104	55	36	38	24	29	18	14	17

Je ziet dat lage begincijfers vaker voorkomen dan hoge.

a

Bereken in hoeveel procent van de waarnemingen in tabel 2 het begincijfer 1, 2 of 3 is.

Het blijkt dat dit verschijnsel bij veel reeksen van getallen optreedt, bijvoorbeeld ook bij de lengte van rivieren of bij inwoneraantallen van gemeenten.
Benford heeft een formule opgesteld waarmee je in dergelijke situaties de relatieve frequentie van de verschillende begincijfers kunt benaderen. Deze formule, die bekend staat als de wet van Benford, ziet er als volgt uit:

`F(n) = 100 * log((n + 1)/n)`

In deze formule is `F(n)` het percentage getallen met het begincijfer `n` ( `n = 1, 2, 3, ..., 9` ). Bij getallenreeksen die voldoen aan de wet van Benford zal bijvoorbeeld ongeveer `17,6` % van de getallen met het cijfer 2 beginnen, want `F(2) = 100 * log(1,5) ~~ 17,6` . En in ongeveer 60,2% van de gevallen zal het begincijfer 1, 2 of 3 zijn, want `F(1) + F(2) + F(3) ~~ 60,2` . Benford heeft aangetoond dat ook de oneindige rij opeenvolgende machten van het getal 2, de rij 1, 2, 4, 8, 16, ... , voldoet aan deze wet.
Maar het is de vraag of de wet van Benford ook geldt wanneer je je beperkt tot een beginstuk van deze rij. Om dat na te gaan, tellen we hoe vaak de cijfers 1, 2 of 3 als begincijfer voorkomen bij de eerste twaalf getallen uit deze rij.

b

Onderzoek of het percentage getallen met begincijfer 1, 2 of 3 bij deze twaalf getallen in overeenstemming is met de wet van Benford.

De getallen die voorkomen in een groot financieel overzicht, voldoen meestal bij benadering aan de wet van Benford. Accountants maken daar tegenwoordig vaak gebruik van om mogelijke fraude bij het opstellen van dergelijke overzichten op te sporen. Zij gaan er daarbij van uit dat het bewust manipuleren van getallen door fraudeurs een andere verdeling van begincijfers oplevert dan de wet van Benford voorspelt. Als bijvoorbeeld `7` % van de getallen in een financieel overzicht met het cijfer 9 begint, zal men dit overzicht vrijwel zeker nader onderzoeken. Immers: `F(9) ~~ 4,6` en het geconstateerde percentage is ongeveer anderhalf keer zo veel.
Bij het accountantskantoor Levrek & Partners hanteert men als vuistregel: er wordt nader onderzoek verricht als het waargenomen aantal getallen met begincijfer 8 meer dan `10` % afwijkt van het door de wet van Benford voorspelde aantal.
In een financieel overzicht komen `12726` getallen voor. Hiervan hebben `712` getallen als begincijfer een 8.

c

Onderzoek of dit voor Levrek & Partners voldoende aanleiding is voor nader onderzoek.

(bron: examen wiskunde A1 vwo 2005, tweede tijdvak, opgave 3, gedeelte)

Opgave Breedte van wegen

Breedte van wegen

In de jaren vijftig deed de Amerikaan D.L. Gerlough onderzoek naar de voetgangersveiligheid van wegen. Als er veel verkeer over een weg gaat, is er voor voetgangers weinig gelegenheid om veilig over te steken. Daarom stelde Gerlough de zogenaamde "veilige norm" op. Een weg voldoet aan deze veilige norm wanneer er zich gemiddeld elke minuut een gelegenheid voordoet om veilig over te steken. Dat lukt alleen als het aantal auto’s dat per uur passeert onder een maximum blijft. Dit maximum geven we hier aan met $N_{max}$ en is afhankelijk van de breedte van de weg.
Gerlough beperkte zich in zijn onderzoek tot wegen met een breedte tussen $2$ meter en $9$ meter. Hij kwam tot de volgende formule:

$N_{max} = \frac{8289,3}{B} \cdot (1,778 - log (B))$

In deze formule is $B$ de breedte van de weg in meters.
Vanzelfsprekend is deze formule een model van de werkelijkheid. Met behulp van dit model kunnen we enig inzicht krijgen in de veiligheid bij de aanleg van wegen.

a

Over een weg passeren in de spits $800$ auto’s per uur. Bereken in decimeters nauwkeurig hoe breed deze weg ten hoogste mag zijn zonder dat de veilige norm wordt overschreden.

Bij een brede weg duurt het oversteken langer dan bij een smalle weg. Voor wegen die voldoen aan de veilige norm, betekent dit dat er bij een brede weg per uur minder auto’s mogen passeren dan bij een smalle weg. De grafiek van $N_{max}$ moet dus dalend zijn.
De formule voor $N_{max}$ moet hiermee in overeenstemming zijn.

b

Leg uit hoe je uitsluitend aan de hand van de formule voor $N_{max}$ – dus zonder gebruik van de grafische rekenmachine – kunt beredeneren dat hier sprake is van een dalende functie.

c

Een weg die voldoet aan de veilige norm, wordt $0,50$ meter breder gemaakt. Volgens de formule neemt $N_{max}$ daardoor met $126$ af. Onderzoek met behulp van de grafische rekenmachine hoe breed de weg oorspronkelijk was. Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig.

(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2005, eerste tijdvak, opgave 2)

Opgave Sterilisatie

Sterilisatie

Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden. In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is $121$ °C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. In de figuur zie je een overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus.
Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op $1$ miljoen. We gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft.
Bij de grafiek hoort een formule van de vorm:

$N_{t} = 10^{6} \cdot 2^{- r \cdot t}$

Hierin is $N_{t}$ het aantal bacteriën na $t$ minuten en is $r$ de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën.
Met behulp van de grafiek kun je berekenen dat de sterftefactor $r$ van de Bacillus stearothermophilus ongeveer gelijk is aan $2,2$ .

a

Toon dat met een berekening aan.

De $D$ -waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot $10$ % van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de $D$ -waarde afhankelijk van de soort bacteriën.

b

Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de $D$ -waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze $D$ -waarde kunt controleren met behulp van de figuur.

Men heeft ook van andere bacteriën de $D$ -waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze $D$ -waarde gelijk aan $2,55$ minuten. Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor deze overlevingsgrafiek beginnen we weer met $1$ miljoen bacteriën.

c

Teken deze overlevingsgrafiek in de gegeven figuur. Licht je werkwijze toe.

(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2006, tweede tijdvak, opgave 2)

Examenopgaven