Machtsfuncties

Machtsfuncties > De abc-formule

123456De abc-formule

Uitleg

De techniek van een kwadraat afsplitsen kun je ook toepassen om bijvoorbeeld de vergelijking $3 x^{2} + 17 x = 45$ op te lossen.
Je deelt dan eerst door $3$ , probeer maar...
Omdat dit een tijdrovend gepruts is hebben wiskundigen de oplossingen berekend voor het algemene geval. Dat gaat ook met kwadraat afsplitsen. Je krijgt het volgende resultaat:

De vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ heeft als oplossing:

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \lor x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Dit noem je de abc-formule of wortelformule.
Deze formule geeft meteen de twee oplossingen als je de juiste waarden voor $a$ , $b$ en $c$ invult. De vergelijking moet vaak wel eerst nog in de vorm $a x^{2} + b x + c = 0$ worden gezet!

Ga na, dat de oplossing van $3 x^{2} + 17 x = 45$ , en dus $3 x^{2} + 17 x - 45 = 0$ is:
$x = \frac{-17 + \sqrt{829}}{6} \lor x = \frac{-17 - \sqrt{829}}{6}$ .
De uitdrukking $b^{2} - 4 a c$ onder het wortelteken heet de discriminant. Omdat die discriminant in dit geval $829$ is zijn er twee mogelijke antwoorden. Is de discriminant negatief, dan zijn er geen reële oplossingen. Je kunt die discriminant beter eerst uitrekenen.

Opgave

Bestudeer de Theorie . Derdegraads functies hebben de vorm $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ met $a \neq 0$ .

Neem $a = 1, b = 0, c = 0$ en $d = 0$ . Hoeveel nulpunten heeft $f$ dan? En hoeveel toppen?

Neem $a = 1, b = 4, c = 0$ en $d = 0$ . Hoeveel nulpunten heeft $f$ dan? En hoeveel toppen?

Neem $a = 1, b = 0, c = 4$ en $d = 0$ . Hoeveel nulpunten heeft $f$ dan? En hoeveel toppen?

Neem $a = 1, b = 0, c = -4$ en $d = 0$ . Hoeveel nulpunten heeft $f$ dan? En hoeveel toppen?

Hoeveel nulpunten en hoeveel toppen heeft een derdegraads functie maximaal?

verder | terug