Logaritmische functies > TotaalbeeldExamenopgaven
Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden. In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is `121` °C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. In de figuur zie je een overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus. Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op `1` miljoen. We gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft. Bij de grafiek hoort een formule van de vorm:
`N_t=10^6*2^ (text(-) r*t)`
Hierin is `N_t` het aantal bacteriën na `t` minuten en is `r` de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën. Met behulp van de grafiek kun je berekenen dat de sterftefactor `r` van de Bacillus stearothermophilus ongeveer gelijk is aan `2,2` .
Toon dat met een berekening aan.
De `D` -waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot `10` % van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de `D` -waarde afhankelijk van de soort bacteriën.
Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de `D` -waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze `D` -waarde kunt controleren met behulp van de figuur.
Men heeft ook van andere bacteriën de `D` -waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze `D` -waarde gelijk aan `2,55` minuten. Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor deze overlevingsgrafiek beginnen we weer met `1` miljoen bacteriën.
Teken deze overlevingsgrafiek in de gegeven figuur op de bijlage. Licht je werkwijze toe.
(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2006, tweede tijdvak)
Honing bestaat grotendeels uit vocht en suikers en voor een klein gedeelte uit andere stoffen, zoals enzymen en mineralen. De kwaliteit van honing hangt onder andere af van de concentratie van het enzym diastase: hoe meer diastase, hoe beter de kwaliteit van de honing. De concentratie van diastase in honing wordt aangeduid met het diastasegetal.
Door het bewaren van honing gaat er diastase verloren en neemt dus het diastasegetal af. De snelheid waarmee dat gebeurt, hangt af van de temperatuur waarbij de honing wordt bewaard. Een maat waarmee de afname van het diastasegetal kan worden weergegeven, is de zogeheten halfwaardetijd. Dat is de tijd waarin het diastasegetal wordt gehalveerd. Bekijk de grafiek waarin deze halfwaardetijd is uitgezet tegen de temperatuur waarbij de honing wordt bewaard.
Wat is beter: honing bewaren bij een lage temperatuur of bij een hoge temperatuur? Licht je antwoord toe en maak daarbij gebruik van de grafiek.
Het diastasegetal is bij de meeste soorten honing direct na winning niet hoger dan `30` . Als het diastasegetal lager is dan `8` , mag de honing alleen nog maar als bakkershoning worden verkocht. Een bepaald type honing heeft bij winning een diastasegetal van `28` . Deze honing wordt gedurende drie jaar bewaard bij een temperatuur van `25` °C. Ga ervan uit dat de afname van het diastasegetal exponentieel verloopt.
Laat met behulp van de grafiek in zien dat deze honing na drie jaar bakkershoning is geworden.
Soms versuikert honing. Er ontstaan dan suikerkorrels op de bodem van een pot honing. Versuikerde honing wordt weer vloeibaar door de honing te verhitten. Uit de grafiek blijkt dat het diastasegetal wordt gehalveerd als honing `24` uur lang op een temperatuur van `60` °C wordt gehouden. Een partij honing met een diastasegetal van `27` wordt gedurende een bepaalde tijd op een temperatuur van `60` °C gehouden. Ga er nog steeds van uit dat de afname van het diastasegetal exponentieel verloopt.
Bereken hoelang het duurt totdat deze partij bakkershoning is geworden.
(bron: examen vwo wiskunde A in 2008, eerste tijdvak)
De laatste jaren waren de zeebevingen in de buurt van Japan regelmatig in het nieuws.
De zeebeving van Sendai in 2011 en de aardbeving van 2004 die een enorme tsunami in
de Indische Oceaan veroorzaakte, zijn allebei bevingen met een kracht van
`9,0`
of meer op de schaal van Richter.
De Amerikaan Charles Richter gebruikte seismogrammen om de magnitude (kracht) van
een beving te kunnen bepalen. In de figuur zie je een voorbeeld van een seismogram.
In dit seismogram zie je de gemeten trillingen van de aarde als uitwijkingen in mm.
De grootste uitwijking in het seismogram heet de maximale amplitude.
Om de magnitude van een beving te bepalen, gebruikt men de formule van Richter. Hieronder
staat een vereenvoudigde versie daarvan:
`M=log(A)+3`
In deze formule is
`M`
de magnitude en
`A`
de maximale amplitude in mm.
Uit de formule blijkt, dat als de maximale amplitude
`A`
tien keer zo groot wordt, de magnitude met
`1`
eenheid toeneemt.
Met de formule
`M = log(A) + 3`
kan
`M`
berekend worden als
`A`
bekend is.
Men kan echter ook
`A`
berekenen als
`M`
bekend is. Dat kan met de formule
`A = 0,001*10^M`
.
Deze laatste formule is af te leiden uit de formule
`M = log(A) + 3`
.
Toon dit aan.
Een van de naschokken van de beving van 2004 had een magnitude van `5,3` op de schaal van Richter. En bij de beving van 2011 was er een naschok met een magnitude van `5,0` . In een wetenschappelijk tijdschrift stond dat de maximale amplitude op het seismogram bij de naschok van 2011 gelijk was aan `102,0` . De maximale amplitude tijdens de naschok van 2004 was groter dan die van 2011.
Bereken hoeveel keer zo groot.
De zeebeving van 11 maart 2011 met de daaropvolgende tsunami zorgde voor grote problemen bij de kerncentrale Fukushima I. Om de reactoren te koelen, werd zeewater in de reactoren gepompt. Dit water lekte, radioactief geworden, weer terug in zee. Hierdoor raakte vis besmet met radioactief jodium en moest de visvangst tijdelijk worden stopgezet.
Radioactief jodium verdwijnt volgens een exponentieel proces. De halveringstijd van radioactief jodium is acht dagen. Op 6 april 2011 gaven metingen aan dat er `4800` keer de maximaal toegestane hoeveelheid radioactief jodium in het zeewater aanwezig was. De maximaal toegestane hoeveelheid radioactief jodium is `5` becquerel/liter. Op het moment dat de maximaal toegestane hoeveelheid werd bereikt, mocht er weer gevist worden. We gaan ervan uit dat er na 6 april 2011 geen nieuw radioactief jodium meer in zee lekte.
Bereken na hoeveel dagen er weer gevist mocht worden.
(naar: examen vwo wiskunde C in 2015, eerste tijdvak)