Veranderingen

Veranderingen > Hellingsgrafiek

Overzicht

123456Hellingsgrafiek

Voorbeeld 1

Hier zie je de grafiek van de functie $f$ met voorschrift $f (x) = 0,5 x^{4} - 4 x^{2}$ .

Teken de grafiek van de bijbehorende hellingsfunctie $f'$ .

> antwoord

Maak met behulp van je grafische rekenmachine een tabel met hellingsgetallen:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f' (x)$	-30	0	6	0	-6	0	30

En teken de bij deze tabel passende grafiek.

Je kunt ook direct je grafische rekenmachine een goede benadering van de hellingsgrafiek laten tekenen. Daartoe laat je hem voor willekeurige $x$ het differentiaalquotiënt benaderen door een differentiequotiënt op het interval $[x, x + 0,001]$ en daarvan een grafiek maken.

Hier zie je hoe dat bij een bepaalde functie kan.

Opgave

Bekijk de Theorie nog eens.
Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = 0,5 x^{3} - 6 x$ .
In elk punt heeft de grafiek van $f$ een bepaalde helling, die wordt bepaald door het differentiaalquotiënt $f' (x)$ in dat punt.

Vul deze tabel in:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f' (x)$

Teken met behulp van deze tabel de hellingsgrafiek van de gegeven functie.

Welke waarde heeft $f' (x)$ in de toppen van de grafiek van $f$ ?

Welke extreme waarde heeft $f' (x)$ en wat betekent dit voor de grafiek van $f$ ?

Opgave

Er is verband tussen de grafiek en de hellingsgrafiek van een functie.

Wat betekent het voor de grafiek van de functie als de hellingsgrafiek onder de $x$ -as ligt?

De functiewaarden zijn dan negatief.

De grafiek is dan stijgend.

De grafiek is dan dalend.

De grafiek heeft dan een minimum.

Soms is een grafiek toenemend stijgend. Hoe zie je dat aan de hellingsgrafiek?

De hellingsgrafiek ligt dan boven de $x$ -as.

De hellingsgrafiek is stijgend.

De hellingsgrafiek ligt boven de $x$ -as en is stijgend.

De hellingsgrafiek heeft een maximum.

Hoe vind je de extremen van een functie uit de hellingsgrafiek?

Je bekijkt voor welke waarden van $x$ de hellingsgrafiek een maximum of een minimum heeft.

Je bekijkt voor welke waarden van $x$ de helling overgaat van positief in negatief (of omgekeerd).

Je bekijkt voor welke waarden van $x$ de helling de waarde $0$ heeft.

Dat kun je niet uit de hellingsgrafiek alleen aflezen.

Opgave

In Voorbeeld 1 zie je hoe je met de grafische rekenmachine de hellingsgrafiek, de grafiek van de afgeleide, kunt benaderen.
Bekijk nu opnieuw de grafiek van $f (x) = 0,5 x^{3} - 6 x$ .

Maak met je rekenmachine de grafiek van $f' (x)$ .

Bepaal $f' (1)$ . Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 1$ .

Bereken met je grafische rekenmachine het minimum van $f$ .
Laat je grafische rekenmachine vervolgens het rechter nulpunt van $f'$ berekenen.
Als het goed is vind je beide keren ongeveer dezelfde waarde van $x$ . Waarom is dat zo? En waarom is dat "ongeveer"?

Opgave

Voor een bewegend voorwerp geldt $a (t) = 1,2 t^{2}$ waarin $a$ de afgelegde afstand in m en $t$ de tijd in seconden is.

De snelheid van dit voorwerp na $5$ seconden is $a' (5)$ . Bereken deze snelheid in m/s en in km/h.

De snelheid $v$ is een functie van $t$ , de hellingsfunctie $a' (5)$ . Teken de grafiek van $v$ .

Stel een functievoorschrift op voor $v (t)$ .

Na hoeveel seconden beweegt het voorwerp met een snelheid van $50$ km/h? (Rond af op één decimaal.)

verder | terug