Rijen

Rijen > Meetkundige rijen

123456Meetkundige rijen

Antwoorden van de opgaven

Opgave

$2^{63}$

In totaal zijn dat $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{63}$ graankorrels. Dat is $2^{64} - 1 \approx 1,84 \cdot 10^{19}$ graankorrels. Zie ook Voorbeeld 2.

Opgave

Elke term wordt verkregen door de voorgaande term met een vast getal te vermenigvuldigen.

$u (n) = u (n - 1) \cdot r$ en $u (0) = a$ waarin $r$ en $a$ constanten zijn.

Opgave

$100 + 200 + 400 + 800 + ... + 12800 = 100 + 100 \cdot 2^{1} + 100 \cdot 2^{2} + 100 \cdot 2^{3} + ... + 100 \cdot 2^{7} = S (7)$
$S (7) - 2 \cdot S (7) = 100 - 100 \cdot 2^{8}$ , dus $S (7) = 100 \cdot 2^{8} - 100 = 25500$ .

$1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^{10} = S (10)$ , dus $S (10) - 2 \cdot S (10) = 1 - 2^{11}$ , zodat $S (10) = 2^{11} - 1 = 2047$ .

Opgave

$u (n) = a \cdot r^{n}$ met $n \geq 0$ .

$u (n) = u (n - 1) \cdot r$ en $u (0) = a$ waarin $r$ en $a$ constanten zijn.

$a + a \cdot r + a \cdot r^{2} + ... + a \cdot r^{9} = S (9)$ .
$S (9) - r \cdot S (9) = a - a \cdot r^{10}$ , dus $S (9) = \frac{a - a \cdot r^{10}}{1 - r}$ .

$S (n - 1) = \frac{a - a \cdot r^{n}}{1 - r}$

Opgave

geen meetkundige rij.

meetkundige rij: directe formule $u (n) = 320 \cdot {0,5}^{n}$ met $n \geq 0$ ; recursieformule $u (n) = u (n - 1) \cdot 0,5$ met $u (0) = 320$ .

geen meetkundige rij.

meetkundige rij: directe formule $u (n) = 1 \cdot 3^{n}$ met $n \geq 0$ ; recursieformule $u (n) = u (n - 1) \cdot 3$ met $u (0) = 1$ .

meetkundige rij: directe formule $u (n) = 2 \cdot 3^{n}$ met $n \geq 0$ ; recursieformule $u (n) = u (n - 1) \cdot 3$ met $u (0) = 2$ .

meetkundige rij: directe formule $u (n) = 5 \cdot {(\sqrt{3})}^{n}$ met $n \geq 0$ ; recursieformule $u (n) = u (n - 1) \cdot \sqrt{3}$ met $u (0) = 5$ .

Opgave

Je doet: sum(seq(2^X,X,0,19). Dit geeft een totaal van 1.048.575.

$S (9) = \frac{(1 - 2^{20})}{(1 - 2)} = 1048575$ .

$S (9) - S (4) = 1048575 - 31 = 1048544$ .

Opgave

$50 + 50 \cdot 1,005 = 100,25$ , dus € 100,25.
En drie maanden na je verjaardag: $50 + 50 \cdot 1,005 + 50 \cdot {1,005}^{2} = 150,75$ , dus € 150,75.

Wat er maandelijks bij komt is steeds $1,005$ keer zo groot dat wat er de maand ervoor bij kwam.

$B (t) = 50 \cdot {1,005}^{t}$ met $t = 0, 1, 2, ...$

$S (23) = 50 \cdot \frac{(1 - {1,005}^{24})}{(1 - 1,005)} \approx 1271,60$ euro.

Opgave

Over 2011: $6600 \cdot 1,05 = 6930$ euro. Over 2012: $6930 \cdot 1,05 = 7276,50$ euro.

$h_{n} = 6600 \cdot {1,05}^{n}$ .

$S (9) = 6600 \cdot \frac{(1 - {1,05}^{10})}{(1 - 1,05)} \approx 83014,09$ euro.

Opgave

$\frac{t_{n}}{t_{n - 1}} = 2$

$S (6) = \sum_{n = 0}^{6} 3 \cdot 2^{n + 1} = \sum_{n = 0}^{6} 6 \cdot 2^{n} = 6 \cdot \frac{1 - 2^{7}}{1 - 2} = 762$ .

$S (13) - S (6) = 98298 - 762 = 97536$ .

Opgave

$3, 6, 12, 24, 48, 96, 192$ en $m_{(n)} = 3 \cdot 2^{n}$ .

$1, -2, 4, -8, 16, -32, 64$ en $m_{(n)} = {(-2)}^{n}$ .

$100; 10; 1; 0, 1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001$ en $m_{n} = 100 \cdot {(0, 1)}^{n}$ .

$5, 5, 5, 5, 5, 5, 5$ en $m_{n} = 5$ .

$12285$ ; $-1365$ ; $111,111...$ ; $60$

$2976$ ; $-352$ ; $0,00111...$ ; $25$

Opgave

Begin met nummeren bij nul. Dan $t (2) = a r^{2} = 10$ en $t (6) = a r^{6} = 40$ . Dat geeft $40 = 10 r^{4}$ , dus $r = \pm \sqrt{2}$ . Dus $a r^{2} = a \cdot 2 = 10$ en dat levert $a = 5$ .
De directe formule voor de rij is $t (n) = 5 \cdot {(\sqrt{2})}^{n}$ met $n \geq 0$ .
De recursieformule voor de rij is $t (n + 1) = t (n) \cdot \sqrt{2}$ met $t (0) = 5$ .

Opgave

$h_{A} (n) = 3000 + 140 n$ en $h_{B} (n) = 3000 \cdot {1,04}^{n}$ met $n \geq 0$ .

$h_{A} (8) = 4120$ en $h_{B} (8) = 4105,71$ . Maar $h_{A} (9) = 4260$ en $h_{B} (9) = 4269,94$ . Dus in het negende jaar.

$S_{A} (9) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (3000 + 4260) = 36300$ euro.

$S_{B} (9) = 3000 \cdot \frac{1 - {1,04}^{10}}{1 - 1,04} \approx 36018,32$ euro.

Opgave

De jaarrente is dan $1 + 1,013 + {1,013}^{2} + ... + {1,013}^{11} = {1,013}^{12} - 1 \approx 0,168$

Opgave

$1024 + 512 + 256 + ... + 4 + 2 + 1 = 2^{10} + 2^{9} + ... + 2^{2} + 2^{1} + 2^{0} = 2047$ .

Opgave

$\sum_{i = 0}^{10} (100 \cdot {(\frac{1}{3})}^{i}) \approx 149,999$

$\sum_{k = 5}^{10} (4 \cdot {(-2)}^{k}) = 15325$

Opgave

Na $3$ stappen is nog $\frac{1}{8}$ deel wit en dus $\frac{7}{8}$ deel rood.

Na $n$ stappen is nog ${(\frac{1}{2})}^{n}$ deel wit. Rood is dan $R (n) = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ m².

Na $14$ stappen.

Eerste rij: Als er wordt gekleurd zoals in de figuur, dan zijn die lengtes $1, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, ...$ . Dit is geen rekenkundige en geen meetkundige rij.
Tweede rij: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...$ is een meetkundige rij.
Derde rij: $0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, ...$ is geen meetkundige en geen rekenkundige rij.

verder | terug