Rijen

Opgave

Je hebt onverwacht € 500.000 gekregen. Je zet dit bedrag op 1 januari 2000 op een renterekening tegen $5$ % rente per jaar. Je haalt elke maand € 2500 van de bank om je inkomen mee aan te vullen. Het saldo van de renterekening $S_{n}$ verandert daardoor maandelijks.

a

Stel hierbij een recursieformule op.

b

Maak een grafiek van de rij $S_{n}$ . Beschrijf het verloop van het saldo.

c

Na hoeveel jaar is het geld op deze renterekening op?

d

Stel een directe formule op voor het saldo $S_{n}$ .

Opgave

In 2000 leefden er in een natuurgebied $2000$ konijnen. Hun aantal is in de jaren daarna telkens met $5$ % toegenomen.

a

Stel een recursieformule op voor het aantal konijnen $K (t)$ waarin $t$ het aantal jaren na 2000 is.

b

Stel een directe formule op voor $K (t)$ .

c

Maak een grafiek en een tabel van de rij $K (t)$ . In welk jaar is het aantal konijnen meer dan verdubbeld?

Opgave

Leonardo van Pisa (ongeveer 1180–1250) geeft in zijn boek "Liber Abaci" uit 1202 het volgende raadsel weer:
"In een afgesloten gebied zet ik één paar konijnen. Dit paar werpt elke maand één paar jongen. Al die jongen krijgen op hun beurt ook weer jonge konijntjes, maar pas vanaf hun tweede levensmaand en dan ook weer elke maand één paar jongen. Hoeveel paren konijnen zijn er nu na één jaar?"

a

Stel een recursieformule op voor het aantal konijnen $A$ na $n$ maanden.

b

Onderzoek hoe de toename van deze konijnen gaat verlopen met behulp van je grafische rekenmachine.

c

Beantwoord de vraag die Leonardo van Pisa in zijn raadsel stelt.

Opgave

Als je melk uit de koelkast haalt en in een glas schenkt loopt de temperatuur op vanaf $T (0) = 6$ °C (de temperatuur binnen de koelkast) naar de kamertemperatuur van $20$ °C. De toename van de temperatuur per minuut is recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving.

a

Leg uit, dat hieruit deze recursieformule is af te leiden: $T (t + 1) = T (t) + c \cdot (20 - T (t))$ waarin $t$ het aantal minuten voorstelt.

Neem aan dat $c = 0,1$ .

b

Maak een grafiek van deze rij en bepaal na hoeveel minuten de temperatuur van de melk minder dan $1$ °C verschilt van de kamertemperatuur.

c

Laat zien hoe de grenswaarde uit de gegeven recursieformule is af te leiden.

Opgave

Er wordt een nieuw maandblad voor jongeren opgericht. Aanvankelijk groeit het aantal abonnees sterk. Van het eerste blad werden $3000$ exemplaren verkocht, maar van het tweede waren dat er al $5670$ , een stijging van ongeveer $90$ %. De redactie hoopt dat het aantal abonnees voorlopig met hetzelfde percentage zal blijven stijgen.

Ze gaan er van uit dat die stijging de komende maanden zo door gaat.

a

Stel een daarbij passende differentievergelijking voor het aantal abonnees $A (t)$ in maand $t$ . Neem aan dat $t = 0$ de maand van de eerste oplage voorstelt.

b

Waarom is dit groeimodel voor het aantal abonnees van dit blad onwaarschijnlijk?

Na verloop van tijd wordt de groei van het aantal abonnees echter kleiner. Voor $A (t)$ blijkt de volgende recursieformule te gelden:

$A (t) = 1,95 \cdot A (t - 1) - 0,00002 \cdot {(A (t - 1))}^{2}$

c

Teken de bijpassende grafiek, weer uitgaande van $A (0) = 3000$ .

d

Op hoeveel abonnees zal dit maandblad uiteindelijk uitkomen?

Verwerken