Rijen

Rijen > Discrete dynamische modellen

123456Discrete dynamische modellen

Voorbeeld 1

Staatsbosbeheer heeft op een bepaald perceel waarop ongeveer $6000$ bomen van een bepaalde soort kunnen staan. Dit perceel is bedoeld als productiebos: na een aantal jaren zijn de eerste bomen groot genoeg om te kunnen worden gekapt. Om een stabiele jaarlijkse opbrengst te hebben wordt er jaarlijks maar $18$ % van de bomen gekapt en worden er $1000$ aangeplant. Het eerste jaar zijn er $5000$ bomen geplant.
Stel een dynamisch model op voor het aantal bomen op dit perceel en breng het verloop ervan in beeld.

> antwoord

Noem het aantal bomen $B$ , dan is:

$B (t) = 0,82 \cdot B (t - 1) + 1000$
$B (0) = 5000$

Met Excel of met je GR maak je hierbij snel een tabel.

Je kunt hierbij ook directe formule opstellen door de recursie uit te schijven:
$B (t) = 5000 \cdot {0,82}^{t} + 1000 \cdot {0,82}^{t - 1} + 1000 \cdot {0,82}^{t - 2} + ... + 1000$ .
Met de somformule voor een meetkundige rij: $B (t) = 5555 \frac{5}{9} - 555 \frac{5}{9} \cdot {0,82}^{t}$ .
Uiteindelijk zullen er jaarlijks ongeveer $5556$ bomen op dit perceel staan.

Opgave

Bekijk in de Theorie wat een lineaire differentievergelijking is.
Stel je voor dat je bij een bank een rentepercentage van $12$ % per jaar kunt krijgen. Je spaart € 1500,00 per jaar en je bent gestart op 1 januari 2000.

Stel een lineaire differentievergelijking op voor $K (t)$ , het kapitaal aan het begin van het $t$ -de jaar.

Maak een tijdgrafiek bij de rij met saldi. Wat gebeurt er met het saldo als $t$ toeneemt?

Op welk tijdstip is het saldo meer dan € 20000,00?

Opgave

In Voorbeeld 1 tref je een model aan voor het kappen en aanplanten van bos.

Leg uit hoe de lineaire differentievergelijking in dit voorbeeld uit de gegevens kan worden afgeleid.

Maak zelf een tabel van het aantal bomen met je grafische rekenmachine en bepaal de grenswaarde voor het aantal bomen.

Laat zien hoe je met behulp van de somformule voor een meetkundige rij de directe formule voor $B (t)$ af kunt leiden.

Leg uit hoe je de grenswaarde van $5556$ bomen uit de directe formule kunt afleiden.

verder | terug