Nee, want de kentallen van een overgangsmatrix zijn overgangskansen en kunnen dus alleen waarden van $0$ t/m $1$ aannemen. In een lesliematrix komen ook geboortecijfers voor en dat kunnen getallen groter dan $1$ zijn.

De getallen op de eerste rij stellen dan de overgangen van even oude of oudere generaties naar jongere voor, dat kan alleen door geboortes.

$\mathrm{0,2}$

$\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,008}$

$L\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ en dan doorrekenen...

2 jaar.

Maximaal 8 jaar.

De getallen op de eerste rij van de populatievoorspellingsmatrix.

P(om 6 jaar te worden) $=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,04}$.

7 jaar hoort tot de klasse 6 - 8. Dus steeds periodes van twee jaar.

$L^2$ is de voorspellingsmatrix met een periode van $4$ jaar en $L^3$ is de voorspellingsmatrix met een periode van $6$ jaar.

Over twee jaar: $P_{2002}=L\cdot \left(\begin{array}{c}590\\ 360\\ 200\\ 80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1707\\ 295\\ 156\\ 40\end{array}\right)$ en $P_{2004}=L\cdot \left(\begin{array}{c}1707\\ 295\\ 156\\ 40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1301\\ 854\\ 118\\ 31\end{array}\right)$.
Als je verder doorrekent zie je de populatie groeien.

Je neemt aan dat zowel de geboortecijfers als de overlevingskansen constant zijn.

Doen.

$L=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 3& 0\\ \mathrm{0,8}& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,4}& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{0,1}& 0\end{array}\right)$

De populatie gaat snel groeien.

$\mathrm{0,8}\cdot 1+\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,4}\cdot 3=\mathrm{1,76}$

$L=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 8\\ \mathrm{0,5}& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,25}& 0\end{array}\right)$

Een jonge plant moet dan in de oudste groep terecht komen. De kans daarop is: $\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,125}$. Dus $\mathrm{12,5}$%.

Er ontstaan periodieke grafieken met een periode van $3$ jaar.

De Leslie-matrix is $L=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 2\\ 0.4& 0& 0& 0\\ 0& 0.3& 0& 0\\ 0& 0& 0.2& 0\end{array}\right)$.
Doorrekenen geeft $\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\\ 100\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}300\\ 40\\ 30\\ 20\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}70\\ 120\\ 12\\ 6\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}24\\ 28\\ 36\\ 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}40\\ 100\\ 8\\ 7\end{array}\right)$, etc. De kudde sterft uit.

Na $13$ overgangen is de kudde uitgestorven. Dus na $13\cdot 5=65$ jaar.

Na $15$ jaar is de samenstelling van de kudde $\left(\begin{array}{c}70\\ 120\\ 12\\ 6\end{array}\right)$ en de Leslie-matrix wordt $L=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 2\\ 0.8& 0& 0& 0\\ 0& 0.6& 0& 0\\ 0& 0& 0.4& 0\end{array}\right)$.
Nu doorrekenen: $\left(\begin{array}{c}70\\ 120\\ 12\\ 6\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}24\\ 56\\ 72\\ 5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}82\\ 19\\ 34\\ 29\end{array}\right)$, etc. Nu gaat de populatie veel langzamer achteruit.

Doordat er minder roofdieren zijn krijgen de dieren uit de kudde meer rust, waardoor de geboortecijfers waarschijnlijk omhoog gaan.

De veranderingen hebben plaatsgevonden na $15$ jaar. De populatievoorspellingsmatrix wordt: $L=\left(\begin{array}{cccc}0& 2& 2& 2\\ 0.8& 0& 0& 0\\ 0& 0.6& 0& 0\\ 0& 0& 0.4& 0\end{array}\right)$.
Nu doorrekenen: $\left(\begin{array}{c}70\\ 120\\ 12\\ 6\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}276\\ 56\\ 72\\ 5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}266\\ 221\\ 34\\ 29\end{array}\right)$, etc.
Bepaal de totalen: $208$, $409$, $550$, $923$, $1350$, $2163$, $3254$, $5113$, $7800$ en $12141$. Door de quotiënten te bepalen, zie je dat de groeifactor ongeveer $\mathrm{1,55}$ is.

Die kansen zijn gemiddeld ongeveer $\mathrm{0,44}$, $\mathrm{0,37}$, $\mathrm{0,13}$ en $0$.

$L=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{0,25}& \mathrm{1,97}& \mathrm{0,09}& 0& 0\\ \mathrm{0,44}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,37}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{0,13}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$56$% van de laagste groep overleeft deze groep niet.

Neem de cijfers van 1980 en pas daar L op toe om de cijfers voor 2000 te krijgen.
$P_{2000}=L\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{27,8}\\ \mathrm{11,9}\\ \mathrm{3,8}\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,0}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{30,7}\\ \mathrm{12,2}\\ \mathrm{4,4}\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,0}\end{array}\right)$ en $P_{2000}=L\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{30,7}\\ \mathrm{12,2}\\ \mathrm{4,4}\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,0}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{32,2}\\ \mathrm{13,5}\\ \mathrm{4,5}\\ \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,0}\end{array}\right)$

De totalen zijn achtereenvolgens $\mathrm{32,2}$, $\mathrm{35,3}$, $\mathrm{37,3}$, $\mathrm{41,1}$, $\mathrm{44,0}$, $\mathrm{47,8}$ en $\mathrm{50,8}$. Dus de groeifactoren zijn $\mathrm{1,10}$, $\mathrm{1,06}$, $\mathrm{1,10}$, $\mathrm{1,07}$, $\mathrm{1,08}$ en $\mathrm{1,06}$. De gemiddelde groeifactor is $\mathrm{1,08}$.

$N\left(t\right)=\mathrm{44,0}\cdot {\mathrm{1,08}}^t$ met $t$ in perioden van $20$ jaar en $t=0$ voor 1980. Los dan op: ${\mathrm{1,08}}^t=2$. Je vindt $t\approx \mathrm{9,0}$. Dus na ongeveer $180$ jaar. In 2160.

$L=\left(\begin{array}{ccccccc}0& \mathrm{1,4}& \mathrm{2,1}& \mathrm{1,6}& \mathrm{1,4}& \mathrm{1,1}& \mathrm{1,0}\\ \mathrm{0,36}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,45}& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{0,43}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{0,35}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \mathrm{0,30}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{0,20}& 0\end{array}\right)$

Totaal in 1990: $2022$ en totaal in 1991: $2005$. De afwijking is $\frac{17}{2022}\approx \mathrm{0,0084}$ en dat is minder dan $1$%.

Neem $100$ jonge vogels. $36$ van dit aantal wordt eenjarig en zorgen voor $36\cdot \mathrm{1,4}=\mathrm{50,4}$ jonge vogels. Het vervangingscijfer is dan $\mathrm{0,504}$.

Ga uit van $100$ jonge vogels.
0-jarige: $100$ vogels. Geen jonge vogels.
1-jarige: $100\cdot \mathrm{0,36}=36$ vogels. Aantal jonge vogels: $36\cdot \mathrm{1,4}\approx 50$.
2-jarige: $36\cdot \mathrm{0,45}\approx 16$ vogels. Aantal jonge vogels: $\mathrm{16,2}\cdot \mathrm{2,1}\approx 34$.
3-jarige: $16\cdot \mathrm{0,43}\approx 7$ vogels. Aantal jonge vogels: $\mathrm{7,0}\cdot \mathrm{1,6}\approx 11$.
4-jarige: $7\cdot \mathrm{0,35}\approx 2$ vogels. Aantal jonge vogels: $\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{1,1}\approx 3$.
5-jarige: $2\cdot \mathrm{0,30}\approx 1$ vogels. Aantal jonge vogels: $\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{1,0}\approx 1$.
6-jarige: $1\cdot \mathrm{0,20}\approx 0$ vogels. Aantal jonge vogels: $0$.
Totaal aantal jonge vogels $99$. $100$ vogels brengen dit aantal voort. Het vervangingscijfer is $\frac{99}{100}\approx 1$.

$\frac{1}{2}=2-\frac{N_t}{2000}$ geeft $\frac{3}{2}=\frac{N_t}{2000}$ en dus $N_t=3000$.

$k=2-\frac{2022}{2000}=\mathrm{0,989}$. De vruchtbaarheid in het derde jaar was $\mathrm{1,6}$. Deze factor wordt nu $\mathrm{1,58}$, blijft dus ongeveer $\mathrm{1,6}$.
Van de $1400$ nuljarigen haalt $1400\cdot \mathrm{0,36}\cdot \mathrm{0,45}\approx 227$ zijn derde levensjaar en die zorgen voor $\mathrm{226,8}\cdot \mathrm{1,58}\approx 358$ nakomelingen.

$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0.75& 0& 0\\ 0& 0.75& 0\end{array}\right)$

$P^2$ geeft de populatievoorspelling over een periode van $8$ jaar. $P^3$geeft de populatievoorspelling over een periode van $12$ jaar.

$P\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 100\\ 50\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200\\ 150\\ 75\end{array}\right)$

Doorrekenen geeft een populatiegrootte is van: $350$, $425$, $563$, $713$, $900$, $1168$, $1476$, $1888$, $2421$, $3077$, $3939$,...
Maak een grafiek.

Lijkt exponentieel met groeifactor ongeveer $\mathrm{1,28}$.

P(2 jaar) = $\mathrm{0,25}$
P(6 jaar) = $\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,1825}$
P(10 jaar) = $\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,5625}$
De verwachting is $2\cdot \mathrm{0,25}+6\cdot \mathrm{0,1825}+10\cdot \mathrm{0,5625}\approx \mathrm{7,2}$ jaar.

Zorg dat er evenwicht ontstaat, dus los op $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \mathrm{0,75}k& 0& 0\\ 0& \mathrm{0,75}k& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ 150\\ 113\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}300\\ 150\\ 113\end{array}\right)$.
Dit geeft $225k=150$ en dus $k=\frac{2}{3}$.