`A` : "Ik heb een lekke band."
`B` : "Ik kom te laat op mijn afspraak bij de tandarts."

Als `A rArr B` is waar en `A` is waar, dan is `B` waar.
Conclusie: Ik kom te laat op mijn afspraak bij de tandarts.

Als `ArArrB` is waar en `B` is niet waar, dan is `A` niet waar.
Conclusie: Ik heb geen lekke band.

Als `A rArr B` is waar en `A` is niet waar, dan kun je geen conclusie trekken.
Je kunt immers ook om andere redenen te laat zijn, of je kunt gewoon niet te laat zijn.

Nee, de voorbeelden laten alleen zien hoe je klasgenoot tot zijn bewering is gekomen.

Ja, één tegenvoorbeeld is genoeg.

Onwaar; tegenvoorbeeld: maandag 2, dinsdag 2, woensdag 2, donderdag 1, vrijdag 1, zaterdag 1, zondag 1.

Waar; voorbeeld: maandag 2, dinsdag 2, woensdag 2, donderdag 1, vrijdag 1, zaterdag 1, zondag 1.

`A` : "De kapster blondeert mijn haar."
`B` : "Mijn haar wordt broos."
`A rArr B` : "Als de kapster mijn haar blondeert, dan wordt mijn haar broos."

Conclusie 1: `A rArr B = 1` en `B = 0` dus `A = 0` en dat is juist.
Conclusie 2: `A rArr B = 1` en `B = 1` dus `A = 1` en dat is onjuist.
Conclusie 3: `A rArr B = 1` en `A = 0` dus `B = 0` en dat is onjuist.

"Als je veel achter de computer werkt, dan kun je last hebben van droge en geïrriteerde ogen."
"Als je een oogziekte hebt of contactlenzen draagt, dan kun je een brandend gevoel in de ogen krijgen."
"Als je ogen bevochtigd worden, dan verdwijnt het droge en branderige gevoel."

Onderzoek zal zulke redeneringen moeten bewijzen.

Benoem de uitgangspunten `A` , `B` en `A rArr B` .
`A` : "Ik gebruik Dioptrie oogdruppels."
`B` : "De ogen worden weer bevochtigd."
`A rArr B` : "Als je Dioptrie oogdruppels gebruikt, dan worden de ogen weer bevochtigd."

Gebruik de waarheidstabel van de implicatie.

Een correcte redenering is: `A rArr B = 1` en `B = 0` geeft `A = 0` .
In woorden: Je ogen worden niet bevochtigd en je hebt geen Dioptrie oogdruppels gebruikt.

Een correcte redenering is: `A rArr B = 1` en `A = 1` geeft `B = 1` .
In woorden: Je hebt de Dioptrie oogdruppels gebruikt en je ogen worden inderdaad bevochtigd.

• Als ik veel geld op de bank heb staan, dan kan ik verre reizen maken.

• Als ik geen verre reizen kan maken, dan heb ik niet veel geld op de bank staan.

• Als ik verre reizen kan maken, dan heb ik niet veel geld op de bank staan.

Nodige voorwaarde, je hebt veel geld nodig om een verre reis te kunnen maken maar alleen dat is niet voldoende, je moet bijvoorbeeld ook tijd hebben om een verre reis te kunnen maken.

Nee, dan zou `A` een voldoende voorwaarde van `B` moeten zijn.

Ja, altijd waar. Een bewering `A` is een nodige voorwaarde voor `B` als geldt `B rArr A` .

Hoeveel voorbeelden je ook verzint, het is geen garantie dat er niet ook een tegenvoorbeeld is te vinden. Daarom zijn voorbeelden nooit een waterdicht bewijs dat een bewering juist is.

Eén tegenvoorbeeld is genoeg om aan te tonen dat een bewering niet in altijd waar is.

Onwaar.
Tegenvoorbeeld: een dolfijn is een zoogdier en heeft geen poten.

Waar.
(Wat is een spin dan wel? Spinachtigen zijn een eigen groep.)

Onwaar.
Tegenvoorbeeld: driehoek `ABC` met `/_A = /_B = 20^@` en `/_C = 140^@` is gelijkbenig, maar heeft twee scherpe hoeken en één stompe hoek.

Waar.
Omdat de drie hoeken samen `180^@` zijn en de rechte hoek `90^@` is, moeten beide andere hoeken wel elk kleiner dan `90^@` (en dus scherp) zijn.

De uitspraak is van de vorm `A rArr B` met:

• `A` : "Ik heb goed geleerd voor mijn proefwerk."

• `B` : "Ik haal een goed cijfer."

Uitgangspunten: `A rArr B` is waar en `B` is waar.
Je kunt geen conclusie trekken over of je goed hebt geleerd.

Uitgangspunten: `A rArr B` is waar en `A` is onwaar.
Je kunt geen conclusie trekken over of je een goed cijfer haalt.

Uitgangspunten: `A rArr B` is waar en verder is er niets bekend, want dit zegt niets over `B` .
Je kunt geen conclusie trekken over of je goed hebt geleerd en ook niet over het behalen van een goed cijfer.

Uitgangspunten: `A rArr B` is waar en `B` is onwaar.
Dan is ook `A` onwaar, je hebt dus niet goed geleerd.

Onwaar; tegenvoorbeeld: een pinguïn is ook een vogel en die kan niet vliegen.

Waar.

Onwaar; tegenvoorbeeld: vijfhoek `ABCDE` met `/_A = /_B = /_C = /_D = 115^@` en `/_C = 80^@` heeft vier stompe hoeken en één scherpe hoek.

Waar.

`P` betekent: het meisje kocht schoenen
`Q` betekent: het meisje heeft bruin haar
`(not Q) rArr P` betekent: als een meisje geen bruin haar heeft, dan kocht ze schoenen
De uitspraak is waar.

• Julia kocht niets wat Roos of het zwartharige meisje kocht (6).

• Drie van hen hebben een paar schoenen gekocht (1).

• Roos of het zwartharige meisje kocht dus schoenen (dus Julia niet).

• Er is precies één meisje met bruin haar en zij kocht geen schoenen (2), dus dit moet Julia zijn.

Een redenering als de situatie van de oude man is niet in tegenspraak met de bewering `H rArr O` , want de bewering `H rArr O` zegt niets over niet-hoogopgeleiden.

• De man is niet hoogopgeleid en toch oud geworden en lang gezond gebleven.

• Volgens de bewering `not H rArr not O` geldt dat niet-hoogopgeleiden niet "oud worden en lang gezond blijven" , dus er is sprake van een tegenspraak.

`OrArrH` is in overeenstemming met `not H rArr not O` , want als geldt dat niet-hoogopgeleiden niet "oud worden en lang gezond blijven" , dan moet iemand die wel oud wordt en lang gezond blijft dus tot de hoogopgeleiden behoren.

• Conclusie `A` volgt niet uit het onderzoek, want niet alle hoogopgeleiden worden oud en blijven lang gezond.

• Conclusie `B` volgt wel uit het onderzoek, want van de niet-hoogopgeleiden wordt slechts `50` % oud en blijft lang gezond en bij hoogopgeleiden is dat 70%.

• Conclusie `C` volgt niet uit het onderzoek, want je weet de verhouding hoogopgeleiden versus niet-hoogopgeleiden niet (en je weet dus niet of `70` % van de hoogopgeleiden meer is dan `50` % van de niet-hoogopgeleiden).

• Conclusie `D` volgt wel uit het onderzoek, want `50` % van de niet-hoogopgeleiden wordt wel oud en blijft lang gezond.

Er moet aangetoond worden dat altijd als de `x` -waarden toenemen de `y` -waarden afnemen. Deze leerling heeft slechts drie getallenvoorbeelden waarbij dit geldt. Dit is nog geen algemene geldigheid van het overal dalend zijn van de grafiek.
Bovendien is het antwoord van de leerling fout, dit kan met een tegenvoorbeeld bewezen worden.

Maak de grafiek met je GR met venster `text(-)10 le x le 10` en `text(-)5000 le y le 5000` bijvoorbeeld. Je ziet dan meteen dat de grafiek niet altijd dalend is. Bijvoorbeeld `x = text(-)10` geeft `y = text(-)2991` en `x = text(-)9` geeft `y = text(-)2424` .
Op het interval `text(-)10 le x le text(-)9` is de grafiek stijgend.

`P` : "Je bent jonger dan 18 jaar."

`Q` : "Je mag geen alcoholische drank nuttigen."

Uitgangspunten: `P rArr Q` is waar en `Q` is onwaar.

Dan is (waarheidstabel implicatie) `P` onwaar en is deze jongere niet jonger dan 18 jaar.

Kaart 1

De situatie van Jan is niet in tegenspraak met de bewering `Z rArr L` , want de bewering `Z rArr L` zegt niets over niet-zware baby's.

• Jan was een niet-zware baby en toch een lange volwassene geworden.

• Volgens de bewering `not Z rArr not L` geldt dat niet-zware baby's geen lange volwassenen zullen worden, dus er is sprake van een tegenspraak.

`L rArr Z` is in overeenstemming met `not Z rArr not L` , want als geldt dat niet-zware baby's geen lange volwassenen worden, dan moet iemand die wel een lange volwassene is tot de zware baby's behoren.

• Conclusie `A` volgt niet uit het onderzoek, want niet alle zware baby's worden lange volwassenen.

• Conclusie `B` volgt wel uit het onderzoek, want van de niet-zware baby's wordt slechts `55` % een lange volwassene en bij zware baby's is dat `75` %.

• Conclusie `C` volgt niet uit het onderzoek, want je weet de verhouding zware baby's versus niet-zware baby's niet (en je weet dus niet of `75` % van de zware baby's meer is dan `55` % van de niet-zware baby's).

• Conclusie `D` volgt wel uit het onderzoek, want `55` % van de niet-zware baby's wordt wel een lange volwassene.