Discrete kansmodellen

Discrete kansmodellen > Niet binomiaal

123456Niet binomiaal

Voorbeeld 2

Op een scholengemeenschap zitten $800$ jongens en $1200$ meisjes. Daaruit wordt een aselecte steekproef van $4$ personen getrokken. Stochast $M$ is het aantal meisjes in de steekproef. Stel een een kansverdeling op voor $M$ en bepaal de verwachting en de standaardafwijking van $M$ . Laat zien dat je kansen vrijwel hetzelfde zijn als je een binomiaal kansmodel gebruikt.

> antwoord

Bij de steekproef gaat het om trekking zonder terugleggen van $4$ elementen uit een populatie van $2000$ . $M$ is een hypergeometrische stochast.
De kans op bijvoorbeeld $M = 3$ is:

$P (M = 3) = \frac{1200}{2000} \cdot \frac{1199}{1999} \cdot \frac{1198}{1998} \cdot \frac{800}{1997} \cdot 4 \approx 0,3458$ .

Dit is vrijwel gelijk aan $P (M = 3) = {(\frac{1200}{2000})}^{3} \cdot \frac{800}{2000} \cdot 4 \approx 0,3456$ .

Je kunt de kansen goed benaderen met een binomiaal kansmodel:

$m$	0	1	2	3	4
$P (M = m)$	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

En nu vind je: $E (M) = 4 \cdot \frac{1200}{2000} = 2,4$ en $σ (M) = \sqrt{4 \cdot \frac{1200}{2000} \cdot \frac{800}{1200}} \approx 0,980$ .

Opgave

In Voorbeeld 2 gaat het om een steekproef van $4$ uit een populatie van $2000$ personen. $M$ is het aantal meisjes in de steekproef.

Waarom is $M$ nog steeds geen binomiale stochast? Maar waarom kun je $M$ nu wel goede benaderen met een binomiale stochast?

Bereken zelf de kansen in de kansverdeling $M$ .

Reken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van $M$ na.

Bereken de kans dat er minstens $3$ meisjes in de steekproef voorkomen.

Opgave

Een gezelschap bestaat uit drie mannen, vier vrouwen en vijf kinderen. Op een buurtfeest moet op aselecte wijze een team van vier personen uit de groep samengesteld worden om aan een spel deel te nemen.

Welk kansmodel moet je gebruiken om de kans te berekenen dat in de groep twee kinderen zitten? Waarom?

Hoe groot is de kans bedoeld in a?

Hoe groot is de kans dat in de groep van vier minstens twee vrouwen zitten?

Hoe groot is de kans dat de groep louter uit vrouwen en kinderen bestaat?

Hoeveel kinderen mag je in de groep verwachten?

Opgave

In een vaas zitten twee witte en drie rode balletjes. Uit deze vaas worden, zonder teruglegging balletjes getrokken, totdat er een wit balletje wordt getrokken.

Wat is de verwachting en de variantie van het aantal benodigde trekkingen?

verder | terug