Verhoudingen

Verhoudingen > Lengte en oppervlakte

123456Lengte en oppervlakte

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De oppervlakte is `1/2*98*65 = 3185` m².

Opgave 1

Omdat de basis en de hoogte van beide driehoeken hetzelfde zijn.
De oppervlakte van elk van beide driehoeken is `1/2 * 5 * 6 = 15` cm².

`Delta DEF`

Noem de hoogtelijn `PC` , dan is `PB = 2` cm en `BC = sqrt(2^2+6^2) = sqrt(40)` .

`Delta ABC` : `AB=5` , `BC=sqrt(40)` en `AC=sqrt(3^2+6^2)=sqrt(45)` .
`o m t r e k (Delta ABC) = 5 + sqrt(40) + sqrt(45) ~~ 18,0` cm.

`Delta DEF` : `DE=5` , `EF=sqrt(4^2+6^2)=sqrt(52)` en `AC=sqrt(9^2+6^2)=sqrt(117)` .
`o m t r e k (Delta ABC) = 5 + sqrt(52) + sqrt(117) ~~ 23,0` cm.

Opgave 2

Linker figuur:
Omtrek is `10 + 8 + sqrt(7^2+11^2) + 11 + sqrt(3^2+8^2) ~~ 50,6` cm.
Oppervlakte is `1/2 * 3 * 8 + 7*8 + 1/2 * 7 * 11 = 106,5` cm².

Middelste figuur:
Omtrek is `pi * 8 + 5 + 11 + 5 + 11 ~~ 57,1` cm.
Oppervlakte is `pi * 4^2 + 11*13 ~~ 193,27` cm².

Rechter figuur:
Omtrek is `2*15 + 4*1 + 2*pi*4 ~~ 59,1` cm.
Oppervlakte is `6*15 - 2*pi*2^2 ~~ 64,87` cm².

Opgave 3

Kubus: `o p p = 6 * 10 * 10 = 600` cm².

Balk: `o p p = 2 * 8 * 10 + 2 * 8 * 12 + 2 * 10 * 12 = 592` cm².

Piramide: de hoogte van elke opstaande driehoek is `h = sqrt(12^2-4^2) = sqrt(128)` .
Dus `o p p = 4*4 + 4 * 1/2 * 8 * sqrt(128) ~~ 197` cm².

Prisma: de hoogte van grondvlak en bovenvlak is `h = sqrt(8^2-4^2) = sqrt(48)` .
Dus `o p p = 3*8*12 + 2 * 1/2 * 8 * sqrt(48) ~~ 343` cm².

Bol: de straal is `r = 8` .
Dus `o p p = 4pi * 8^2 ~~ 804` cm².

Cilinder: de straal is `r = 8` en de hoogte is `h = 10` .
Dus `o p p = 2pi*8*10 + 2*pi*8^2 ~~ 905` cm².

Kegel: de straal is `r = 8` en de hoogte is `h = 10` , dus `R=sqrt(8^2+10^2)=sqrt(164)` .
Dus `o p p = pi*8*sqrt(164) + pi*8^2 ~~ 523` cm².

Kubus: `12 * 10 = 120` cm.

Balk: `4*8 + 4*10 + 4*12 = 120` cm.

Piramide: `4*8 + 4*12 = 80` cm.

Prisma: `6*8 + 4*12 = 96` cm.

Cilinder: `2 * 2 * pi * 8 + 12 ~~ 112,5` cm.

Kegel: `2*pi*8 + sqrt(164) ~~ 63,1` cm.

Opgave 4

De kegelmantel is een deel van een cirkel met straal `R` .

Die cirkel heeft een omtrek van `2pi R` .

De cirkelsector beslaat een deel van die omtrek dat `2pi r` groot is.

De cirkelsector is daarom het `(2pi r)/(2pi R)` deel van de cirkel met straal `R` .

De kegelmantel is het `(2pi r)/(2pi R)` deel van de cirkel met straal `R` .

De oppervlakte ervan is dus `(2pi r)/(2pi R) * pi R^2 = r/R *pi R^2 = pi *r*R` .

Vanwege de stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek `AMT` .

De oppervlakte van een kegel is de som van de oppervlakte van de kegelmantel en die van de grondcirkel.

Dus is de oppervlakte van een kegel `π*r*sqrt(r^2+h^2) + π*r^2` .

De oppervlakte van een cilinder is de som van de oppervlakte van de cilindermantel en die van de grondcirkel en de bovencirkel. De cilindermantel is als je hem uitrolt een rechthoek met lengte `2pi r` en breedte `h` .

Dus is de oppervlakte van de cilinder `2pi*r*h + 2*π*r^2` .

Tsja, die moet je maar even accepteren. Om hem te kunnen afleiden heb je een wiskundige techniek nodig die "integreren" heet.

Opgave 5

Een zijde is `36/3 = 12` cm lang.

`100 - 2*17 = 66` cm, dus de lengte is `66/2 = 33` cm

Iedere zijde van het vierkant is `12/4 = 3` cm.
De diameter van de grootste cirkel die in het vierkant past, is dan `3` cm. De straal van die cirkel is `1,5` cm.
Oppervlakte cirkel: `pi*r^2 = pi*1,5^2 ~~ 7,07` cm².

`pi r^2 = 2` geeft `r^2 = 2/(pi)` en dus `r = sqrt(2/(pi)) ~~ 0,80` m.

Opgave 6

De oppervlakte `Delta ACD` is `1/2 * (12,5 + 17,5) * 16 = 240` m².

Omdat `AC^2 = 12,5^2 + 16^2 = 412,25` is `AC=sqrt(412,25)` . Dat is de diameter van de halve cirkel.

De straal is: `r = 1/2 * AC = 1/2 * sqrt(412,25)` .

De oppervlakte van de halve cirkel is: `1/2*pi*r^2 = 1/2 * pi * 1/4 * 412,25 ~~ 161,89` m².

De totale oppervlakte van het grondvlak is: `240 + 161,89 = 401,89` m²

De totale lengte is `9*7 = 63` cm.

Opgave 7

Bijvoorbeeld een rechthoek en twee rechthoekige driehoeken.

Of twee driehoeken als je een diagonaal trekt.

De oppervlakte is `9sqrt(41) ~~ 57,6` m².

De totale oppervlakte is `23,3*2+57,6*2 ~~ 161,9` m².

Opgave 8

De oppervlakte van een regelmatig viervlak bestaat uit de oppervlakte van vier gelijke gelijkzijdige driehoeken.

De hoogte van zo'n driehoek is `= sqrt(7,5^2 – 3,75^2) ~~ 6,5` cm.

De oppervlakte ervan is ongeveer `2 * 1/2 * 3,75 * 6,5 ~~ 24,375` cm².

De oppervlakte van het regelmatige viervlak is ongeveer `4 * 24,375 ~~ 97,4` cm².

Opgave 9

De oppervlakte is `pi*r^2 = pi*1,75^2 =9,6` m².

De oppervlakte is `pi*r*sqrt(r^2+h^2) = pi*1,75*sqrt(1,75^2+12^2) ~~ 66,7` m².

Opgave 10

Omtrek bovenvlak `= pi*d = pi*9,8 ~~ 30,79` cm.

Totale hoeveelheid strip `= 2*30,79 ~~ 61,6` cm.

Straal: `r = 1/2 * d = 1/2 * 9,8 = 4,9` cm
Hoogte: `h = 11,1` cm.

Oppervlakte: `2*pi*r^2 + 2*pi*r*h = 2*pi*4,9^2 + 2*pi*4,9*11,1 = 492,6` cm² `~~ 0,05` m².

Opgave 11

Figuur I is een driehoek met basis `6` en hoogte `2` .
De oppervlakte is `1/2 * 6 * 2 = 6` cm².

Figuur II bestaat uit twee driehoeken met hoogte `5` . Van de éne driehoek is de basis `7` en van de andere driehoek is de basis `3` .
De oppervlakte is `1/2 * 7 * 5 + 1/2 * 3 * 5 = 25` cm².

Figuur III bestaat uit twee driehoeken met hoogte `2` en basis `sqrt(60)-3` (stelling van Pythagoras).
De oppervlakte is `2 * 1/2 * (sqrt(60)-3) * 2 ~~ 9,5` cm².

Figuur IV verdeel je eerst in twee gelijke cirkelsegmenten.
Elk van die segmenten is een kwartcirkel met straal `3` minus een rechthoekige driehoek van `3` bij `3` .
De oppervlakte van één deel is `1/4 * pi * 3^2 - 1/2*3*3 = 2,568...` cm².
De oppervlakte van figuur IV is `2*2,568...~~5,14` cm².

Figuur V is een kwartcirkel met straal `6` minus twee halve cirkels met straal `3` plus figuur IV.
De oppervlakte is `1/4 * pi*6^2 - 2*1/2*pi*3^2 + 5,14 ~~ 5,14` cm².

Opgave 12

Bereken de hoeken bij het middelpunt van de zeshoek zijn `(360^@)/6 = 60^@` .

De driehoeken zijn gelijkbenig, want de diagonalen delen elkaar middendoor. De andere twee hoeken van de driehoek moeten even groot zijn (basishoeken). Bereken deze: `(180-60)/2=60^@` . Dat betekent dat de driehoeken niet alleen gelijkbenig zijn, maar ook gelijkzijdig.

Elke gelijkzijdige driehoek heeft zijden van `4` cm.
Bereken met de stelling van Pythagoras de hoogte van zo'n driehoek: `sqrt(4^2-2^2) = sqrt(12)` .

De oppervlakte van een driehoek is: `1/2*4*sqrt(12) = 2sqrt(12)` . Dus de oppervlakte van de gehele zeshoek is: `6*2sqrt(12) = 12sqrt(12) ~~ 41,6` cm².

Opgave 13

De oppervlakte van de rok is driekwart van de oppervlakte van de grote cirkel minus de oppervlakte van de kleine cirkel.

Grote cirkel, oppervlakte: `pi*119^2 ~~ 44488,1` cm².
Kleine cirkel, oppervlakte `pi*19^2 ~~ 1134,1` cm².
Totale oppervlakte van de rok: `3/4*(44488,1-1134,1) = 32515,5` cm².

Opgave 14

De oppervlakte van de voorkant is gelijk aan die van de achterkant: `2 *1/2*100*240 + 120 * 240 = 52800` cm².

Oppervlakte van een zijkant: `450 * 260 = 117000` cm².

Oppervlakte van het dak: `120 * 450 = 54000` cm².

De totale oppervlakte aan glas is dan `393600` cm² en dat is `39,36` m².

Opgave 15

De oppervlakte is `pi*15*sqrt(15^2+20^2) ~~ 1178` cm².

De kegel wordt precies halverwege afgeknot, de hoogte van de kleine kegel is `10` cm.

Oppervlakte kegelmantel kleine kegel `= pi*7,5*sqrt(7,5^2+10^2) ~~ 295` cm².
Oppervlakte kapje `~~ 1178 - 295 ~~ 884` cm².

Opgave 16

De piramide heeft een hoogte van `21,65` m en een vierkant grondvlak met zijden van `35,42` m.

Het grondvlak is niet van glas, dus die oppervlakte hoef je niet te berekenen. Bereken wel de oppervlakte van de vier gelijke driehoekige zijvlakken.

De hoogte van zo'n driehoek bereken je met de stelling van Pythagoras.
Die hoogte is `h = sqrt(21,65^2 + 17,71^2) ~~ 27,9708` m.

De oppervlakte van zo'n driehoek is `1/2*35,42*27,9708~~495,3632` m².

De totale oppervlakte aan glas is `495,36*4=1981,45` m².

De piramide bestaat uit `603` ruiten en `10` driehoeken. Tel daarbij de `5` ruiten en `10` driehoeken op die in de opening passen. In totaal zijn er dan `608` ruiten en `80` driehoeken.

Twee driehoeken vormen samen een ruit. Dat betekent dat de gehele piramide bestaat uit `608+40=648` ruiten.

De oppervlakte van een ruit is: `(1981,45)/648~~3,06` m².

Opgave 17Guragevolk in Ethiopië

Guragevolk in Ethiopië

De oppervlakte van het huis bestaat uit de oppervlakte van een cilinder zonder grondvlak/bovenvlak en de oppervlakte van een kegel zonder grondvlak.

De oppervlakte van de cilinder zonder grondvlak/bovenvlak is `2*pi*2,4*2,2 = 33,2` m².

De oppervlakte van de kegelmantel is `pi*2,6*sqrt(2,6^2 + 2,4^2) = 28,9` m².

De oppervlakte van het huis is `33,2 + 28,9 = 62,1 = 62` m².

Opgave 18De Waura-indianen

De Waura-indianen

Het met riet bedekte huis bestaat uit de oppervlakte van een halve cilindermantel en twee keer een kwart bol.

Oppervlakte halve cilindermantel: `1/2 * 2*pi*r*h = 1/2*2*pi*6*8 ~~ 150,8` m².

Oppervlakte twee keer kwart bol (samen een halve bol): `1/2*4*pi*r^2 = 1/2*4*pi*6^2 ~~ 226,2` m².

oppervlakte van het met riet bedekte huis: `~~ 150,8 + 226,2 = 377` m².

Opgave 19

`2,5` keer zo veel lak nodig.

`~~1,95` keer zo veel lak nodig.

Opgave 20

Figuur I: `9` cm².

Figuur II: `18` cm².

Figuur III: `~~ 6,28` cm².

verder | terug