Verhoudingen > Lengte en oppervlakteUitleg
Alle ribben even lang, alle grensvlakken zijn vierkanten.
Alle grensvlakken zijn rechthoeken (of vierkanten).
Eén grondvlak (een veelhoek), alle andere grensvlakken zijn driehoeken die samen komen in de top `T` .
Twee overstaande congruente veelvlakken, alle andere grensvlakken zijn rechthoeken.
Alle punten op de bol liggen even ver (straal `r` ) van het middelpunt van de bol.
Twee grensvlakken zijn cirkels met straal `r` , daartussen zit één gebogen buisvormig grensvlak met hoogte `h` .
Het grondvlak is een cirkel met straal `r` en daarop staat één gebogen vlak met top `T` .
De oppervlakte van een ruimtelijke figuur is de som van de oppervlaktes van alle grensvlakken samen.
Van een ruimtelijk figuur kun je een uitslag tekenen. De oppervlakte is gelijk aan de oppervlakte van de uitslag.
Bij kubus, balk, piramide, prisma bepaal je dus de oppervlaktes van alle vlakke grensvlakken.
Maar bol, cilinder en kegel hebben gebogen grensvlakken. Daarvoor gebruik je deze oppervlakteformules:
| figuur | formule oppervlakte |
| bol | `o p p e r v l a k t e =4*pi*r^2` |
| cilinder | `o p p e r v l a k t e =2*pi*r^2 +2*pi*r*h` |
| kegel | `o p p e r v l a k t e =pi*r*R+pi*r^2` |
Als je de kegel goed bekijkt, zie je (stelling van Pythagoras), dat `R = sqrt(r^2+h^2)` .
Dus is ook: `o p p e r v l a k t e (k e g e l) = pi*r*sqrt(r^2+h^2) + pi*r^2` .
Je hebt een set holle aluminium ruimtefiguren. Ze bestaan dus alleen uit hun grensvlakken. Je hebt:
-
een kubus met ribben van `10` cm;
-
een balk met ribben van `8` , `10` en `12` cm;
-
een piramide met een vierkant grondvlak van `8 xx 8` cm en opstaande ribben van `12` cm;
-
een prisma met grondvlak en bovenvlak een gelijkzijdige driehoek met zijden van `8` cm en opstaande ribben van `12` cm;
-
een bol met een diameter van `16` cm;
-
een cilinder met een diameter van `16` cm en een hoogte van `10` cm;
-
een kegel met een diameter van `16` cm en een hoogte van `10` cm.
Bereken van elk van deze figuren de oppervlakte in cm2 nauwkeurig.
Vier van deze ruimtelijke figuren zijn in elkaar gezet door platte grensvlakken aan elkaar te lassen langs de ribben van de figuur.
Bereken bij elk van deze vier figuren de totale lengte van de lasnaad.
De cilinder en de kegel zijn gelast langs de cirkelvormige platte grensvlakken en over één recht lijnstuk over de gebogen grensvlakken.
Bereken bij elk van deze figuren de totale lengte van de lasnaad in mm nauwkeurig.
|
|
|
|
Je ziet een rechte kegel met top `T` en als grondvlak een cirkel met straal `MA = r` . Het lijnstuk `TM` is de hoogte `h` van de kegel.
De uitslag van zo'n kegel bestaat uit de grondcirkel en de opengevouwen kegelmantel. Deze kegelmantel is een cirkelsector met straal `AT=R` en middelpunt `T` .
Leg uit waarom de kegelmantel het `(2pi r)/(2pi R)` deel van een cirkel met een oppervlakte van `pi R^2` is.
Schrijf een zo eenvoudig mogelijke formule voor de oppervlakte van de kegelmantel op.
Waarom is `R = sqrt(r^2+h^2)` ?
Laat nu zien hoe je aan de formule voor de oppervlakte van een kegel met straal `r` en hoogte `h` komt.
Laat ook zien hoe je aan de formule voor de oppervlakte van een cilinder met straal `r` en hoogte `h` komt.
En hoe zit het met de oppervlakte van een bol met straal `r` ?