Verhoudingen

Verhoudingen > Verhoudingen

123456Verhoudingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Nee, niet alle rechthoeken zijn gelijkvormig.

Neem een rechthoek van `2` bij `3` en een rechthoek van `3` bij `5` . Die zijn niet gelijkvormig, want de breedte van de tweede rechthoek is `1,5` keer de breedte van de eerste rechthoek, maar de lengte van de tweede rechthoek is niet `1,5` keer de lengte van de eerste rechthoek.

Opgave V2

Ga eerst maar door meten na, dat `AS ~~ 1,618 * BS` , hoe groot je `AB` ook maakt.

Nu het rekenwerk, puzzel eerst zelf maar even!
Het getal `varphi = 1/2 + 1/2sqrt(5)` wordt wel het Gulden Getal genoemd.

Opgave 1

Maak een tabel met corresponderende zijden:

`ABCD`	`AB` `3`	`BC` `2`	`CD` `5`	`AD` `6`
`EFGH`	`EF` `3`	`FG` `3`	`GH` `?`	`EH` `7`

Je ziet, dat `EF = AB` , maar `FG = 1,5*CD` . Dus worden corresponderende zijden niet met hetzelfde getal vermenigvuldigd.

De tabel is nu dus geen verhoudingstabel!

Dan moeten alle andere zijden worden berekend door die van `ABCD` te vermenigvuldigen met `7/6` .

Je krijgt dan `EF = 7/6*AB = 7/6*3 = 3,5` , `FG = 7/6*2 = 7/3 = 2 1/3` en `GH = 7/6*5 = 35/6 = 5 5/6` .

Opgave 2

De hoeken `ACB` en `DCE` zijn gelijk (overstaande hoeken) en dus zijn alle hoeken gelijk.

`(CD)/(CA) = 5/2 = 2,5` , dus `CD = 2,5 * CA` .
`(CE)/(CB) = (3,5)/(1,4) = 2,5` , dus `CE = 2,5*CB` .
Dus de corresponderende zijden hebben dezelfde verhouding.

`ΔABC`	`AB`	`BC` `1,4`	`AC` `2`
`ΔCDE`	`DE`	`CE` `3,5`	`CD` `5`

`(AB) / (DE) = 2/5`

`DE = 5/2*1,8 = 4,5` cm.

Opgave 3

Er moet gelden: `a / b = (a+b) / a ~~ 1,618` . Invullen geeft:

`(19,78)/(12,22) = (32)/(19,78)` geeft na uitrekenen `1,618... = 1,617...` .

De verhouding klopt redelijk goed. Bij benadering is hier de gulden snede gebruikt.

Opgave 4

Nee, alleen al omdat de langste diagonaal met lengte `2` niet even lang is als beide kleinere lengtes samen `(1 + sqrt(3)) ~~ 2,73` .

Opgave 5

`a` is de lengte van je onderarm, `b` is de lengte van de bovenarm en `a+b` is de lengte van je gehele arm.

Controleer nu zelf of geldt `a / b = (a+b) / a` .

Zeer waarschijnlijk voldoet je arm niet aan de verhouding van de gulden snede, maar als dit wel zo is, dan is je arm ideaal opgebouwd.

Opgave 6

Gebruik de afmetingen van het A3-formaat en maak bijvoorbeeld een verhoudingstabel.

A3	`297`	`420`
A2	`420`	`?`

Hieruit volgt voor de breedte van A2-formaat `297 * 420/297 = 420` mm.

De oppervlakte van A4 is `210*297 = 62370` mm².

De oppervlakte van A3 is `297*420 = 124740` mm².

En dat is precies `2` keer zo groot.

Maak bijvoorbeeld deze verhoudingstabel, waarbij `c` de vergrotingsfactor is.

`A_n`	`b`	`l`
`A_(n+1)`	`l`	`c*l`

Hieruit volgt voor de lengte van het volgende formaat `c*l = l * l/b` .

De oppervlakte van het kleinere formaat is `l*b` .

De oppervlakte van het grotere formaat is `2*l*b = l*c*l = l*l*l/b` .

Dit betekent `2*l*b = l*l*l/b` en dus `2 = (l^2)/(b^2)` zodat `(l/b)^2=2` en `l/b=sqrt(2)` .

De vergrotingsfactor `c=sqrt(2)` .

Zie figuur.

Omdat alle opeenvolgende rechthoeken gelijkvormig zijn, worden de rechte hoeken door de diagonalen steeds in twee gelijke delen verdeeld. En tussen twee opeenvolgende diagonalen zitten ook steeds weer beide delen van de rechte hoek (die dus samen weer die rechte hoek vormen).

Zie figuur. De knikken van de diagonalen liggen om en om op twee snijdende lijnen. Hun snijpunt is het gevraagde oog.

Opgave 7

B0: `1000` mm bij `1414` mm.

B1: `707` mm bij `1000` mm.

B2: `500` mm bij `707` mm.

B3: `353` mm bij `500` mm.

B4: `250` mm bij `353` mm.

Ja, `353/250 = 1,414 = 297/210` .

Je kunt dit ook met een verhoudingstabel nagaan.

Omdat de B-formaten dezelfde eigenschappen (vergrotingsfactor, verhoudingen) hebben als de A-formaten. Alleen de beginwaarden (B0-formaat) zijn anders.

Opgave 8

A4: `210` mm bij `297` mm.

A4-extra: `235` mm bij `322` mm.

De vergrotingsfactor voor de breedtes is `235/210 ~~ 1,12` .

De vergrotingsfactor voor de lengtes is `322/297 ~~ 1,08` .

Dus deze zijn niet precies gelijkvormig.

A4 oppervlakte: `210*297 = 62370` mm².

A4-extra oppervlakte: `322*235 = 75670` mm².

Dus `(75670-62370)/62370 * 100 ~~ 21` % meer.

Opgave 9

Nee, de zijden `ET` en `FT` zijn gelijk aan de zijden `FT` en `GT` , maar de zijden `EF` en `FG` zijn niet even lang.

De totale hoogte van het schaalmodel is `18` cm en ribbe `CG` is `13,5` cm, zodat `TM` wel `4,5` cm moet zijn.

In de uitwerking van het voorbeeld lijkt de vergrotingsfactor `27/18` te zijn. Het gaat daarbij om `27` "meter" en `18` centimeter en dus is de vergrotingsfactor `2700/18` .

De schaal is daarom `1 : 2700/18` en dit geeft `1 : 150` .

Opgave 10

Meet in de foto:

hoogte totale toren `= 7,2` cm
hoogte kegeldak `= 1,5` cm
breedte toren `= 1,35` cm

`text(fotolengte touw) = text(fotozijde kegeldak) + text(fotolengte cilinderdeel)`

De doorsnede van het kegeldak is een driehoek met een basis van `1,35` cm.

Splits de gelijkbenige driehoek op in twee rechthoekige driehoeken en bereken daarmee de dakzijde en dus de lengte van het touw langs het dak.

`text(dakzijde)^2 = 1,35^2 + 1,5^2 ~~ 4,07`

Dus `text(dakzijde) = sqrt(4,07) ~~ 2` cm.

`text(lengte cilinderdeel) = 7,2 - 1,5 = 5,7` cm.

Totale touwlengte in foto: `2 + 5,7 = 7,7` cm.

Maak een verhoudingstabel.

	hoogte toren	totale touwlengte
werkelijkheid	`5765` cm	touwlengte
foto	`7,2` cm	`7,7` cm

Hieruit volgt: `5765/(7,2) = text(touwlengte)/(7,7)` .

Dus `text(touwlengte) = 5765/(7,2) * 7,7 = 6165,3` cm.

Er is minimaal `62` meter touw nodig.

Opgave 11

`297/210 ~~ 1,41` en `(297+210)/297 ~~ 1,71` .

Deze verhoudingen zijn niet gelijk aan elkaar en dus is een velletje A4-papier geen gulden rechthoek.

`(8,5)/(5,4) ~~ 1,574` en `(8,5+5,4)/(8,5) ~~ 1,635`

Afgerond op één decimaal zijn beide gelijk aan `1,6` en dus gelijk aan elkaar en aan `varphi` als je die afrondt op één decimaal. Grofweg gezien is een bankpasje een gulden rechthoek.

Opgave 12

`(AS) / (SB) = (AB) / (AS)` geeft `g/(1-g) = 1/g` en dus `g^2 = 1 - g` .
Dus `g^2 + g - 1 = 0` .

Met de abc-formule vind je `g = {text(-)b ± sqrt(b^2-4ac)}/{2a} = {text(-)1±sqrt(5)}/{2}` .
Dus `g = (text(-)1 - sqrt(5))/2 vv (text(-)1 + sqrt(5))/2` .

Voor de gulden snede gebruik je de positieve oplossing. Dus: `g = (text(-)1 + sqrt(5))/2` .

Opgave 13

Ze delen allemaal hoek `A` en ook de andere hoeken zijn gelijk.

Bekijk ook deze tabel met corresponderende zijden:

`ΔABC`	`AB` `9`	`BC` `9,3`	`AC` `13,5`
`ΔADE`	`AD` `3`	`DE` `?`	`AE` `4,5`

Hier is `AD = 1/3*AB` en `AE = 1/3*AC` , dus de corresponderende zijden hebben dezelfde vergrotingsfactor (hier: verkleiningsfactor).

Zijde `AB` en zijde `AD` zijn overeenkomende zijden. De vergrotingsfactor is nu `9/3 =3` .

`DE = 1/3*9,3 = 3,1` .

Opgave 14

Lengte: `355/22 = 16,1` cm `= 161` mm

Breedte: `163/22 = 7,4` cm `= 74` mm

Hoogte: `149/22 = 6,8` cm `= 68` mm

`149/5 = 29,8 ~~ 30` .
De schaal is ongeveer `1 : 30` .

Opgave 15

Van `50` inch naar `65` inch:

de breedte wordt `(80,93)/(62,26) ~~ 1,30` keer zo groot;
de lengte wordt `(143,90)/(110,69) ~~ 1,30` keer zo groot.

Dus zijn beide beeldschermen gelijkvormig.

Met de stelling van Pythagoras is de diagonaal `sqrt(62,26^2 + 110,69^2) ~~ 127,00` cm.

En `50` inch `= 50 * 2,54 ~~ 127` cm. Dus dat klopt.

Ja, `16/9 ~~ 1,78` en `(110,69)/(62,26) ~~ 1,78` en `(143,90)/(80,93) ~~ 1,78` .

Nee, `4/3 ~~ 1,33` en `(110,69)/(62,26) ~~ 1,78` en `(143,90)/(80,93) ~~ 1,78` .

`3/4 * 110,69 ~~ 83,01` cm.

Opgave 16

`77/(14,8) ~~ 5,20`

`53/(10,5) ~~ 5,05`

De schaal wordt: `1 : 5,2` ofwel `10 : 52` .

De tweede verdeling krijg je door een verticale lijn recht door het rechteroog te trekken.

De derde verdeling krijg je door een horizontale onder de ogen te trekken.

De gulden spiraal bestaat uit kwartcirkels. Ieder vlak waar deze spiraal doorheen loopt is een vierkant. In dat vierkant wordt steeds een kwartcirkel getekend met als middelpunt van de cirkel een hoekpunt van het vierkant en als straal de breedte van het vierkant.

Opgave 17

Bereken `ET` met de stelling van Pythagoras: `ET = sqrt(147^2+115^2) ~~ 186,64` m.

De gulden snede vind je bij `(ET)/(ES) = (186,64)/115 ~~ 1,62` .

De gulden snede vind je ook bij `(ET)/(EB)` , `(ET)/(AE)` , enzovoort.

`BT = sqrt(1+varphi^2)`

Bereken `ET` met de stelling van Pythagoras. `ET = sqrt(135^2+115^2)~~177,34` m.

`(ET)/(ES) = (177,34)/115~~1,542...` Dat is niet de verhouding volgens de gulden snede.

Opgave 18Parthenon

Parthenon

De rechthoek is `88` mm breed en `54` mm hoog. De verhouding `88/54 ~~ 1,6` kan een verhouding volgens de gulden snede zijn.

Een argument voor: de verhouding van de zijden voldoet (bij benadering) en dit kan bewust zijn gedaan.

Een argument tegen: deze verhouding komt vaak voor omdat het een mooie, esthetische verhouding is en het kan dus zijn dat de verhouding onbewust is toegepast door de Grieken.

Teken eerst `DJ` zo dat `BCDJ` een vierkant is. Doe dit bijvoorbeeld door met een passer punt `B` om punt `C` heen te cirkelen. Teken daarna `FK` zo dat `DEFK` een vierkant is. Teken ten slotte `IL` zo dat `FGIL` een vierkant is.

Bijvoorbeeld `CE` , `CD` en `DE` met `(EC)/(CD) = (CD)/(DE)` ; `EG` , `EF` en `FG` met `(EG)/(EF) = (EF)/(FG)` ; `GJ` , `GI` en `IJ` met `(GJ)/(GI) = (GI)/(IJ)` .

`GJ = 1 + varphi = DE` , `EG = 1+2varphi (= varphi + varphi^2) = BC` , `EC = 2 + 3varphi (= varphi^2 + varphi^3) = AH` , `AC = 3 + 5varphi (= varphi^3 + varphi^4)`

(naar: voorbeeldopgave Syllabus vwo wiskunde C in 2018)

Opgave 19De modulor

De modulor

`1130/698 ~~ 1,618` en `1829/1130 ~~ 1,619` .

bovenbeen: knie `698 / 432 ~~ 1,616` .

navel: bovenbeen `1130 / 698 ~~ 1,619` .

arm: borst `2260 / 1397 ~~ 1,618` .

`(69,9)/(43,2) ~~ 1,618` is ongeveer gelijk aan `varphi` , de verhouding van de gulden snede.

Ook `69,9 + 43,2 = 113,1` cm en `183/113 ~~ 1,618` zijn verhoudingen volgens de gulden snede.

En verder:

de zithoogte is `43,2` cm en die is gelijk aan de kniehoogte in het modulormaatsysteem;
de leuninghoogte van `69,9` cm is gelijk aan de dijhoogte in het modulormaatsysteem;
de banklengte van `183` cm is gelijk aan de hoofdhoogte in het modulormaatsysteem.

Bepaal eerst de vergrotingsfactor: `167/(182,9) ~~ 0,913` .

De zithoogte wordt `43,2*0,913 ~~ 39,4` cm.

De totale hoogte wordt `69,9*0,913 ~~ 63,8` cm.

Opgave 20

`DE ~~ 6,7` cm.

`CE ~~ 6,2` cm.

Opgave 21

Punt `E` verdeelt lijnstuk `AB` volgens de verhouding van de gulden snede.

verder | terug