`(5*180^@)/7 ~~ 128,6^@` .

Eerste manier:
Begin met `AB = 2` cm. Zet daarop aan beide zijden een hoek van `128,6^@` en pas op de benen van die hoeken `BC = 2` cm en `AG = 2` cm af. Dan teken je in de punten `C` en `G` opnieuw hoeken van `128,6^@` . En zo ga je verder.
Als het goed is, krijg je een zevenhoek zoals die in de uitleg. Het is nog wel lastig om hem precies goed te krijgen omdat de (stompe) hoeken `102,857...^@` zijn.

Tweede manier:
Omdat je de straal van de omgeschreven cirkel weet, kan dit gemakkelijker.
Begin met het tekenen van de omgeschreven cirkel en teken daarin de stralen naar de hoekpunten met tussen twee opeenvolgende stralen een hoek van `(360^@)/7 ~~ 51,4^@` . Je hoeft nu alleen nog de hoekpunten te verbinden.

Elke driehoek tussen twee stralen is gelijkbenig met zijden van `2,30` cm en `2` cm.

De hoogte van zo'n driehoek is `sqrt(2,30^2 - 1^2) ~~ 2,07` .
En dus is de oppervlakte van één driehoek `1/2 * 2 * 2,07 ~~ 2,07` cm².

De oppervlakte van de achthoek is daarom `7*2,07 ~~ 14,50` cm².

`(360^@)/7 ~~ 51,4^@`

`(6*180^@)/8 = 135^@` .

Begin met `AB = 4` cm. Zet daarop aan beide zijden een hoek van `135^@` en pas op de benen van die hoeken `BC = 2` cm en `AG = 2` cm af. Dan teken je in de punten `C` en `G` opnieuw hoeken van `135^@` . En zo ga je verder. Als het goed is, krijg je een achthoek zoals die in de figuur.

Nu je de straal van de omgeschreven cirkel weet, kan dit gemakkelijker.
Begin met het tekenen van de omgeschreven cirkel en teken daarin de stralen naar de hoekpunten met tussen twee opeenvolgende stralen een hoek van `(360^@)/8 = 45^@` . Je hoeft nu alleen nog de hoekpunten te verbinden.

Elke driehoek tussen twee stralen is gelijkbenig met zijden van `5,23` cm en `4` cm.

De hoogte van zo'n driehoek is `sqrt(5,23^2 - 2^2) ~~ 4,83` .
En dus is de oppervlakte van één driehoek `1/2 * 4 * 4,83 ~~ 9,66` cm².

De oppervlakte van de achthoek is daarom `8*9,66 ~~ 77,32` cm².

`4` door elk hoekpunt en door het midden van de omgeschreven cirkel, waarbij er steeds twee symmetrieassen samenvallen. En nog eens `4` door het midden van elk lijnstuk en het midden van de omgeschreven cirkel, waarbij er ook steeds twee samenvallen. In totaal dus `8` .

`(8*7)/2 = 28` stuks.

De hoeken bij `M` zijn allemaal `60^@` , dus `/_MAB = 60^@` . Omdat de driehoeken in ieder geval gelijkbenig zijn (twee zijden zijn stralen van de cirkel), zijn ook de andere twee hoeken gelijk. Die zijn dus `(180^@ - 60^@)/2 = 60^@` . Maar dan zijn alle hoeken gelijk en is er sprake van een gelijkzijdige driehoek.

Begin met het tekenen van de omgeschreven cirkel met straal `5` cm en teken daarin de stralen naar de hoekpunten met tussen twee opeenvolgende stralen een hoek van `60^@` . Je hoeft nu alleen nog de hoekpunten te verbinden.

Elke driehoek tussen twee stralen is gelijkzijdig met zijden van `5` cm.

De hoogte van zo'n driehoek is `sqrt(5^2 - 2,5^2) ~~ 4,33` .
En dus is de oppervlakte van één driehoek `1/2 * 5 * 4,33 ~~ 10,83` cm².

De oppervlakte van de achthoek is daarom `6*10,83 ~~ 64,95` cm².

`(6*5)/2 = 15` diagonalen.

Omdat alle hoeken ervan `(4*180^@)/6 = 120^@` zijn. Dus de drie regelmatige zeshoeken die in elk punt tegen elkaar zitten vormen samen een hoek van `3 *120^@ = 360^@` en maken dus een volle hoek.

Nee, meestal gaat het niet omdat de hoeken van zo'n regelmatige veelhoek vrijwel nooit op een geheel deel van `360^@` uitkomen. Dat lukt alleen met `6` regelmatige driehoeken (gelijkzijdige driehoeken) en met `4` regelmatige vierhoeken (vierkanten).

`90^@ + 1/2*135^@ = 157,5^@` .

De voorgevel bestaat uit een rechthoek van `6,22` m bij `2,5` m en vier gelijkbenige driehoeken tussen de stralen van de omgeschreven cirkel van de regelmatige achthoek. Die stralen zijn `3,11` m lang.

De hoogte van elke gelijkbenige driehoek is `sqrt(3,11^2 - 1,1^2) ~~ 2,91` m.

De totale oppervlakte van de voorgevel is `6,22*2,5 + 4*1/2*2,2*2,91 ~~ 28,35` m².

De twintighoek bestaat uit `20` gelijkbenige driehoeken vanuit het middelpunt van de cirkel getekend. De hoek tussen twee opeenvolgende stralen is `(360^@)/20=18^@` . Dus je tekent die twintig gelijkbenige driehoeken en dan heb je de regelmatige twintighoek.

`20` (door elk hoekpunt en het middelpunt van de cirkel zit er één, en door elk midden van de zijden en het middelpunt zit er ook één, maar er vallen steeds twee samen).

`(18*180^@)/20 = 162^@` .

De twintighoek bestaat uit `20` gelijkbenige driehoeken vanuit het middelpunt van de cirkel getekend. De hoogte van zo'n driehoek is `sqrt(4^2 - 0,625^2)~~3,95` cm.

De oppervlakte van de twintighoek is dus `20*1/2*1,25*3,95 ~~ 49,4` cm².

De oppervlakte van de omgeschreven cirkel is `pi*4^2 ~~ 50,27` .

Dus het regelmatig twintigvlak bedekt `(49,4)/(50,29)*100 ~~ 98` % van de omgeschreven cirkel.

De zeshoek bestaat uit `6` gelijkzijdige driehoeken vanuit het middelpunt van de omgeschreven cirkel getekend die een straal van `40` cm heeft. De hoogte van zo'n driehoek is `sqrt(40^2 - 20^2) = sqrt(1200) = 20sqrt(3)` cm.

De oppervlakte van de zeshoek is `6*1/2*40*20sqrt(3) ~~ 2400sqrt(3)` cm².

De oppervlakte van het blad is `2400sqrt(3)` cm².

De oppervlakte van het onderstel is `4*40*60 = 9600` cm².

De totale oppervlakte is `9600 + 2400sqrt(3)` cm².

In het bovenaanzicht herken je een regelmatige vijfhoek (pentagon) als buitenomtrek en ook als binnenomtrek, de omtrek van het binnengebied.

De hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn `(3*180^@)/5 = 108^@` . Dit betekent dat de grootste hoek van zo'n vlieger ook `108^@` is. Er zijn verder twee hoeken van `90^@` teken de vierkanten die aan elke vlieger grenzen. De vierde hoek is daarom `360^@ - 2*90^@ - 108^@ = 72^@` .

De vijf vierkanten hebben samen een oppervlakte van `5 * 114^2 = 64980` m².

Elke vlieger bestaat uit twee rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van `114` m en `83` m. De oppervlakte van die vijf vliegers is samen `5*114*83 = 47310` m².

De totale oppervlakte van het gebouw is daarom `64980 + 47310 = 112290` m².

Het verschil zit wellicht in afrondingen en enkele uitbouwsels.

Bekijk de figuur. Bekend is: `AP = 280/2 = 140` m, `BP = 114/2 = 57` m, `AB = 83` m en `BC = 114` m.
Omdat de twee driehoeken `ABC` en `APM` gelijkvormig zijn met een vergrotingsfactor van `140/83` , is `PM = 140/83*114~~192,3` m. De oppervlakte van `Delta APM` is dus `1/2*140*192,3~~13460` m².
De oppervlakte van de totale buitenste vijfhoek is ongeveer `10*13460 = 134600` m².

Ongeveer `134600 - 112290 = 22310` m².

De vergrotingsfactor van de buitenste naar de binnenste vijfhoek is `114/280` .
De oppervlakte van de binnenste vijfhoek wordt hiermee `134600*(114/280)^2 ~~ 22312` m².

Beide antwoorden komen redelijk overeen.

Er zijn vier zijden van `2` cm, maar ook vier van `sqrt(2^2+2^2) = sqrt(8) ~~ 2,83` cm. Dus zijn niet alle zijden even lang.

Verdeel elke zijde van het vierkant in twee stukken van `x` cm en een middenstuk van `6 - 2x` cm. De zijden van de achthoek die niet op de zijden van het vierkant liggen zijn dan `sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2x^2)` lang.

Omdat alle zijden van de achthoek even lang moeten zijn, moet `sqrt(2x^2) = 6 - 2x` .

Beide zijden kwadrateren: `2x^2 = (6 - 2x)^2` .

Haakjes wegwerken en de abc-formule gebruiken: `x = 6 +- sqrt(18)` .

Dus moet `x = 6 - sqrt(18) ~~ 1,76` en zijn de zijden van de achthoek ongeveer `6 - 2*1,76 ~~ 2,49` cm.

Je vindt de vijf hoekpunten met evenveel tussenruimte op de cirkel door tussen twee opeenvolgende stralen naar die hoekpunten steeds `360/5=72^@` af te passen. Zie figuur bij b.

De hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn `(3*180^@)/5 = 108^@` , dus de drie hoeken bij hoekpunt `A` zijn samen `108^@` . Je kunt in `Delta ABC` berekenen dat `/_ BAC = (180^@ - 108^@)/2 = 36^@` . Op grond van de symmetrie is ook `/_ DAE = 36^@` en dus is `/_ CAD = 108^@ - 2*36^@ = 36^@` .
De drie hoeken van hoekpunt `A` zijn allemaal `36^@` .

De hoeken van beide driehoeken zijn gelijk, beide `108^@` en twee keer `36^@` .

Omdat `Delta ABC` gelijkbenig is, is `BC = x` .

Omdat ook `Delta PBC` gelijkbenig is, is `CP = BC = x` .

En dus is `AC = AP + PC = 1 + x` .

Uit de gelijkvormigheid van deze driehoeken volgt deze verhoudingstabel:

`ΔABP`	`AB` `x`	`BP` `1`	`AP` `1`
`ΔCEP`	`CE` `x+1`	`EP` `x`	`CP` `x`

Dus `x/(x+1) = 1/x` en `x^2 = x + 1` .

Uit `x^2 = x+1` volgt met de abc-formule `x = (1+sqrt(5))/2` (de andere waarde vervalt).

Ze verdelen elkaar in de verhouding `AP : PC = 1 : (1+sqrt(5))/2 = 1 : varphi` .

`sqrt(8^2+8^2) = sqrt(128) ~~ 11,31` cm.

Dit betekent dat `AM = 1/2 * sqrt(128) ~~ 5,66` cm.

`MP = 1/2*8 = 4` cm, dus `AP~~5,66 - 4 = 1,66` cm.

De lengte is ongeveer 4,3 cm.

Als de drie delen evenlang zouden zijn, zouden ze alle gelijk moeten zijn aan `8/3 ~~ 2,67`  cm.

Driehoek `BMA` en `OPA` zijn gelijkvormig, allebei hebben ze een rechte hoek en allebei zijn ze gelijkbenig. Bekijk de verhoudingstabel:

`ΔBMA`	4	4
`ΔOPA`	`OP`	1,66

Hieruit volgt dat `OP = 1,66` cm.

Ook de driehoeken `DAB` en `QAP` zijn gelijkvormig (zelfde rechte hoek en gelijkbenig) en dat betekent dat `OP = PQ` , want `BM = MD` .

Conclusie: `OQ = 2*1,66 = 3,32` en dat is langer dan `2,67` cm. Hieruit volgt dat de vierkanten elkaars zijden niet in even grote stukken delen.

De twaalfhoek bestaat uit `12` gelijkbenige driehoeken vanuit het middelpunt van de cirkel getekend. De hoek tussen twee opeenvolgende stralen is `30^@` . Dus je tekent die twaalf gelijkbenige driehoeken en dan heb je de regelmatige twaalfhoek.

`12`

`150^@` .

Ongeveer `48,0` cm².

Ongeveer `95,5` %.