Verhoudingen > Regelmaat en symmetrieToepassen
Dit is een glas-in-lood raam in de St. Gabriëlskerk in Amsterdam, gemaakt door W. Bogtman. Het is een regelmatige vijfhoek (pentagon). Daarbinnen zie je een regelmatige vijfpuntige ster, een pentagram. Het geheel is mooi symmetrisch opgebouwd.
Teken zelf een pentagram in een cirkel met een straal van `5` . De vijf hoekpunten van het bijbehorende pentagon komen op de cirkel te liggen.
Bekijk de figuur. Hoe groot zijn de drie hoeken bij hoekpunt `A` ?
Laat zien, dat dit betekent dat de driehoeken `ABP` en `CAB` gelijkvormig zijn.
Neem nu aan dat de zijden van het pentagon `x` eenheden lang zijn en neem `PA=1` .
Laat zien, dat dan `CP = x` eenheden en `AC = x + 1` eenheden.
Laat zien, dat uit de gelijkvormigheid van `Delta ABP` en `Delta CEP` volgt dat `x^2 = x + 1` .
Bereken hieruit de exacte waarde van `x` .
Leg uit dat de volgende bewering klopt: "Twee lijnstukken van een pentagram die elkaar snijden verdelen elkaar in een verhouding die overeen komt met de gulden snede.".
Bekijk de regelmatige achthoek die is ontstaan door twee vierkanten gekruist op elkaar te leggen. De beide vierkanten hebben ieder een zijde van `8` centimeter. Je wilt de lengte van elke zijde van de achthoek berekenen.
Hoe lang zijn alle diagonalen van de achthoek?
`AM` staat loodrecht op diagonaal `BD` . Bereken de lengte van `AP` .
Bereken de lengte van de zijden van de regelmatige achthoek.
Je kunt nu berekenen of de twee vierkanten elkaars zijden in drie even lange stukken opdelen.
Anders geformuleerd: is `NO` even lang als `OQ` en even lang als `QR` ?