Discrete kansmodellen

Opgave 8

Je staat met een sleutelbos met zes verschillende sleutels voor een gesloten deur en weet alleen maar dat precies één van die sleutels gaat passen, niet welke dat is. Je probeert een sleutel. Als hij past, dan open je de deur. Past hij niet, dan houd je hem apart en probeer je een andere sleutel.
Noem het aantal sleutels dat je moet proberen totdat de deur open gaat $S$ .

a

Bereken de kans dat de deur pas bij de zesde sleutel opengaat: $P (S = 6)$ .

b

Stel een kansverdeling op voor $S$ .

c

Hoeveel sleutels verwacht je te moeten proberen?

Opgave 9

Iemand heeft de tijd (in seconden) gemeten van een groot aantal proefpersonen, die ze nodig hadden om op een foto een bepaald voorwerp te herkennen. De resultaten staan in deze tabel.

$t$	1	2	3	4	5	6	7	8
$P (T = t)$	0,04	0,08	0,15	0,28	0,25	0,17	0,02	0,01

De relatieve frequenties kun je opvatten als de kansen dat het voorwerp na zoveel seconden werd gevonden.

a

Hoe groot is de kans dat het voorwerp door een willekeurige proefpersoon na $3$ seconden wordt herkent? Hoe groot is de kans dat hij er langer over doet?

b

Hoeveel tijd verwacht je dat een proefpersoon nodig heeft om het voorwerp te herkennen? Welke standaardafwijking hoort daar bij?

c

Hoe groot is de kans dat de herkenningstijd die een proefpersoon nodig heeft meer dan een standaarddeviatie van de verwachtingswaarde afwijkt?

Opgave 10

De eigenaar van een ijssalon verdient € 300,00 op een mooie dag. Bij minder goed weer heeft hij een verlies van € 60,00. De kans op een mooie dag is $0,3$ .

Hoeveel bedraagt de winstverwachting van deze kleine zelfstandige?

Opgave 11

Wat is een redelijke inzet bij een spel waarbij je $1 / 5$ kans hebt op een uitbetaling van € 25,00 en $2 / 5$ kans op een uitbetaling van € 10,00?

Opgave 12

Hoeveel meisjes mag je in een gezin met drie kinderen verwachten, als de kans op de geboorte van een meisje even groot is als die op de geboorte van een jongen?

Opgave 13

Je wilt in een casino meedoen met het volgende spel: Na inzet van 1 euro mag je met drie dobbelstenen werpen. Gooi je één of meer zessen, dan krijg je je inzet terug plus voor iedere zes in de worp 1 euro extra.

a

Bereken de winstverwachting van dit spel.

b

Aan een andere tafel wordt hetzelfde spel gespeeld, maar nu met vier dobbelstenen. Ga door berekening na of hierdoor de winstverwachting verandert.

Opgave 14

In een vaas zitten twee witte en drie rode balletjes. Uit deze vaas worden zonder teruglegging balletjes getrokken, net zolang tot er een wit balletje wordt getrokken.

Wat is de verwachting en de standaarddeviatie van het aantal benodigde trekkingen?

Opgave 15

In een suikerfabriek staan twee machines voor het vullen van pakken suiker. Bij het afstellen op $1$ kg blijken beide machines inderdaad pakken te vullen van ongeveer $1$ kg, maar er komen toch wel behoorlijke afwijkingen voor. De volgende relatieve frequentieverdeling geeft dat weer:

	$x$	970	980	990	1000	1010	1020	1030
Machine 1	$P (X_{1} = x)$	0,04	0,07	0,12	0,18	0,25	0,29	0,05
Machine 2	$P (X_{2} = x)$	0,00	0,00	0,15	0,30	0,35	0,20	0,00

Deze frequentieverdelingen kun je opvatten als kansverdelingen.

a

Toon aan dat beide kansverdelingen dezelfde verwachtingswaarde hebben. Hoe groot is die verwachting?

b

Teken bij beide kansverdelingen een kanshistogram op je grafische rekenmachine.

c

Welk bezwaar heb je wanneer als maat voor de spreiding het verschil tussen de grootste en kleinste waarde wordt genomen?

d

Bereken de variantie en de standaarddeviatie voor de stochasten $X_{1}$ en $X_{2}$ die behoren bij de beide vulmachines.

e

Hoeveel procent van de pakken suiker wijkt minder dan de standaarddeviatie van het gemiddelde af? Bereken dit percentage voor beide machines afzonderlijk.

Verwerken