Hypothesen en verbanden

Hypothesen en verbanden > Normale toets

1234567Normale toets

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Gebruik de applet of je GR. Die kans is ongeveer $0,091$ .

De kans is ongeveer $9,1$ % dat de consumentenbond een fout maakt. Het is verstandig om een grotere steekproef te nemen en daarvan het gemiddelde gewicht te bepalen. De wortel-n-wet zorgt er dan voor dat de standaardafwijking van het gemiddelde in zo'n steekproef kleiner wordt naarmate $n$ groter wordt.

Opgave 2

Er is sprake van een normale kansverdeling en er wordt alleen gekeken naar de situatie dat het gemiddelde in een steekproef lager is dan de opgegeven (of eerder gemeten) waarde voor de populatie.

De consumentenbond is voornamelijk geïnteresseerd in het belang van consumenten en wil daarom niet dat een verpakking te weinig bevat. De fabrikant daarentegen wil ook niet teveel suiker in een pak stoppen, want dat kost hem geld. Dus de fabrikant zal waarschijnlijk tweezijdig toetsen.

In dit geval mag de nulhypothese niet worden verworpen omdat $0,091 > 0,05$ , het afgesproken significantieniveau.

$P (G \leq g | μ = 1002 \land σ = 3) \leq 0,05$ geeft $g \approx 997,065$ .
Het kritieke gebied is dan $997$ gram of minder.

Opgave 3

Je kijkt dan naar het gemiddelde gewicht $\bar{(G)}$ in de steekproef en je test $H_{0} : μ (\bar{(G)}) = 1002$ tegen $H_{1} : μ (\bar{(G)}) < 1002$ .
Voor de standaardafwijking van de verdeling geldt nu de $\sqrt{n}$ -wet, dus $σ (\bar{(G)}) = \frac{3}{\sqrt{100}} = 0,3$ .

$bar(G \leq 998 | μ (\bar{(G)}) = 1002 \land σ (\bar{(G)}) = 0,3) \approx 0 < 0,05$ .
Nu is er wel reden om $H_{0}$ te verwerpen.

Opgave 4

Doen.

$P (\bar{(G)} \leq g | μ = 1002 \land σ \approx 0,95) \leq 0,005$ geeft $g \approx 999,55$ .
Er is nog steeds een significante afwijking.

$P (\bar{(G)} \leq g | μ = 1002 \land σ \approx 0,42) \leq 0,01$ geeft $g \approx 1001,02$ .
De consumentenbond krijgt gelijk als er gemiddeld minder dan $1001$ gram wordt gevonden.

Opgave 5

Er wordt naar een afwijking van het gemiddelde zowel naar boven als naar beneden gezocht. De onbetrouwbaarheidsdrempel wordt verdeeld over beide ongelijkheden. Als er geen duidelijke reden is om dat anders te doen wordt $α$ gewoon in twee gelijke delen verdeeld.

$P (\bar{(G)} \leq g_{1} | μ = 1002 \land σ \approx 0,95) \leq 0,025$ geeft $g_{1} \approx 1000,13$ .
$P (\bar{(G)} \geq g_{2} | μ = 1002 \land σ \approx 0,95) \leq 0,025$ geeft $g_{2} \approx 1003,86$ .
Het kritieke gebied wordt $\bar{(G)} \leq 1000,1$ of $\bar{(G)} \geq 1003,9$ .

Opgave 6

$H_{0} : μ = 0,200$ en $H_{1} : μ > 0,200$ met $σ = \frac{0,041}{\sqrt{80}} \approx 0,0046$ .

$P (\bar{(K)} > 0,213 | μ = 0,200 \land σ \approx 0,0046) \approx 0,0024 < 0,01$ , dus $H_{0}$ wordt verworpen.

Opgave 7

Je toetst $H_{0} : μ = 175$ tegen $H_{1} : μ \neq 175$ met $α = 0,01$ .
In de steekproef is $\bar{(C)} = 177,375$ en $σ \approx 8,901$ . Deze $σ$ gebruik je als schatting voor de standaardafwijking van de populatie.
$P (\bar{(C)} \leq g_{1} | μ = 175 \land σ \approx \frac{8,901}{\sqrt{8}}) \leq 0,005$ geeft $g_{1} \approx 166,89$ .
$P (\bar{(C)} \geq g_{2} | μ = 175 \land σ \approx \frac{8,901}{\sqrt{8}}) \leq 0,005$ geeft $g_{2} \approx 183,11$ .
De gevonden $177,375$ ligt niet in het kritieke gebied en dus is de afwijking niet statistisch significant.

Opgave 8

Je toetst $H_{0} : μ = 3600$ tegen $H_{1} : μ < 3600$ met $α = 0,03$ . (Je zou ook een dubbelzijdige toets kunnen doen, maar op grond van het steekproefresultaat ligt een enkelzijdig toets meer voor de hand.)
In de steekproef is $\bar{(L)} = 3300$ en $σ = \frac{600}{\sqrt{60}}$ .
$P (\bar{(L)} \leq g | μ = 3600 \land σ = \frac{600}{\sqrt{60}}) \leq 0,03$ geeft $g \approx 3454$ .
De gevonden $3300$ ligt in het kritieke gebied en dus kun je met een betrouwbaarheid van $97$ % de bewering van de firma verwerpen.

Opgave 9

$P (\bar{(G)} < 53,3 | μ = 54,2 \land σ = \frac{4,7}{\sqrt{200}}) \approx 0,0034 < 0,025$ , dus $H_{0}$ wordt verworpen, het tijdschrift heeft niet gelijk.

Bij een significantieniveau van ongeveer $0,34$ % of meer.

Bij een significantieniveau van ongeveer $27,24$ % of meer. De betrouwbaarheid wordt duidelijk kleiner als de steekproef kleiner wordt.

Opgave 10

Je toetst $H_{0} : μ = 0,022$ tegen $H_{1} : μ > 0,022$ .

Zie a, het wordt een enkelzijdige toets want kleinere hoeveelheden natriumnitriet zijn acceptabel, grotere niet.

Steekproef: $\bar{(N)} \approx 0,022128$ en $σ (N) \approx 0,000458$ .
$P (\bar{(N)} > 0,022128 | μ = 0,022 \land σ = \frac{0,000458}{\sqrt{25})} \approx 0,0811 > 0,05$ , dus $H_{0}$ wordt niet verworpen, er is geen reden voor bezorgdheid.

Opgave 11

Doen, de cumulatieve relatieve frequenties zorgen voor een redelijk rechte lijn.

$σ \approx 0,02$ en $\bar{(V)} = 3,4915$ .

$P (\bar{(V)} < 3,4915 | μ = 3,50 \land σ = \frac{0,02}{\sqrt{20}}) \approx 0,0287 < 0,05$ , dus $H_{0}$ wordt verworpen, de consumentenorganisatie kan de bewering van de fabrikant verwerpen.

Opgave 12

$P (\bar{(M)} > 252 | μ = 250 \land σ = \frac{2}{3}) \approx 0,0013 < 0,025$ , dus $H_{0}$ wordt verworpen.

Opgave 13

Steekproef: $\bar{(K)} = 16,025$ en $σ (K) \approx 0,134$ .
$P (\bar{(N)} < 16,025 | μ = 16,4 \land σ = \frac{0,134}{\sqrt{25}} \approx 0,0000 < 0,02$ , dus $H_{0}$ wordt verworpen, het kobaltgehalte is te klein.

verder | terug