Je geeft met een teken (+ of −) aan of bij een bepaalde leerling het SE-cijfer hoger of lager dan het CE-cijfer is.

Als er gemiddeld geen verschil tussen CE en SE is, zal de kans dat een bepaalde leerling een hoger SE heeft dan zijn CE even groot zijn dan andersom.

$X$ is het aantal plussen. $\text{P}(X\le g|n=18\wedge p=\mathrm{0,5})<\mathrm{0,05}$ geeft $g=5$. Er zijn $6$ plussen, dus de inspectie mag niet concluderen dat het CE slechter is gemaakt dan het SE. Bekijk ook in Voorbeeld 1 een andere manier om deze toets te doen.

Doen.

In de Uitleg wordt het kritieke gebied van de toets vastgesteld en daarna gecontroleerd of de uitslag van de meting wel of niet in dit kritieke gebied ligt. In dit voorbeeld wordt berekend hoe groot de kans is dat het meetresultaat de hypothese verwerpt terwijl hij toch waar is. Daarna wordt nagegaan of dit wel kleiner is dan het significantieniveau dat is afgesproken.

Een significantieniveau van meer dan $\mathrm{24,03}$%. Maar de kans op een foute uitspraak wordt dan wel erg groot.

$X$ is het aantal maanden dat het ziekteverzuim op afdeling A hoger is dan op afdeling B. Je toetst ${\text{H}}_0$: $p=\mathrm{0,5}$ tegen ${\text{H}}_1$: $p>\mathrm{0,5}$ met $n=12$ en $\alpha =\mathrm{0,05}$.

In de steekproef van $12$ maanden geldt $X=9$.
$\text{P}(X\ge 9|n=12\wedge p=\mathrm{0,5})\approx \mathrm{0,0730}>\mathrm{0,05}$ dus de nulhypothese mag niet worden verworpen en de afwijking is niet significant.

Doen.

In situaties waarin je wilt nagaan of gemeten waarden significant afwijken van theoretische waarden.

De gevonden waarden zijn $x_1=47$ en $x_2=53$. De theoretische waarden zijn $t_1=50$ en $t_2=50$. Dus ${{\rm X}}^2=\mathrm{0,36}$.
$\text{P}({{\rm X}}^2>\mathrm{0,36})=1-\text{P}(0\le {{\rm X}}^2\le \mathrm{0,36})\approx \mathrm{0,5485}>\mathrm{0,01}$. GR: $1-{{\rm X}}^2(0,0.36,1)$. Dus ligt $\mathrm{0,36}$ niet in het kritieke gebied en is de afwijking niet significant.

Het verschil van twee normaal verdeelde variabelen $A$ en $B$ is ook normaal verdeeld met ${\mu }_V={\mu }_A-{\mu }_B$ en ${\sigma }_V=\sqrt{{\left({\sigma }_A\right)}^2+{\left({\sigma }_B\right)}^2}$. Is er geen verschil tussen de scores$A$ en$B$, dan zal $V=A-B$ een gemiddelde van $0$ hebben.

Omdat je verwacht dat groep A beter scoort zal $V=A-B$ een gemiddelde hebben boven de $0$. Wanneer je niet weet of de invloed van koffie positief of negatief is, dan voer je een tweezijdige toets uit.

$\text{P}(V>g|{\mu }_V=0\wedge \sigma {}_V=\mathrm{15,6})<\mathrm{0,05}$ geeft $g\approx \mathrm{25,7}$. Omdat ${\mu }_V=75-65=10$ is de afwijking onvoldoende. Je mag niet concluderen dat de cafeï de prestaties positief beïnvloedt.

Als je alle personen beide tests laat doen en die tests zijn ook echt gelijkwaardig dan is dat waarschijnlijk eerlijker en dan heeft $V$ ook echt de betekenis van een verschilscore per persoon. Het is wel verstandig om dan een controlegroep te hebben die beide tests zonder tussentijds koffie te krijgen uitvoert om na te gaan of ze echt gelijkwaardig zijn.

Een bout en moer past niet als de bout te dun is en ook niet als de bout te dik is.

`text(H)_0: mu_V = mu_M - mu_B = 0,02` en `text(H)_1: mu_V > 0,02 text( of ) mu_V < 0,02` .

`sigma = (sqrt(0,05^2 + 0,03^2))/(sqrt(100)) ~~ 0,006` . De `sqrt(n)` -wet is nodig omdat er `100` keer een bout en een moer worden gepast en de gegeven standaardafwijkingen die van de populatie zijn en niet van de steekproef van `100` .

`text(P)(V < g_1 | mu_V = 0,02 text( en ) sigma_V = 0,006) < 0,025` geeft `g_1 ~~ 0,008` en `text(P)(mu_V > g_2 | mu_V = 0,02 text( en ) sigma_V = 0,006) < 0,025` geeft `g_2 ~~ 0,032` . De machines worden bijgesteld als in de steekproef het gemiddelde verschil kleiner is dan `0,008` of groter is dan `0,032` .

Omdat beide groepen even groot zijn zou dit op zich kunnen (elke man koppel je dan aan één vrouw en je vergelijkt hun voetlengtes). Toch lijkt het een rare methode omdat de gegevens eigenlijk niet gekoppeld zijn (het is niet de voetlengte van één persoon, eerst in vrouwelijke en dan in mannelijke gedaante, of zoiets (:-))).

Nu vergelijk je twee normale verdelingen met elkaar en kijk je naar het verschil van hun gemiddelden. Of de gegevens zijn gekoppeld of niet is daarbij niet echt belangrijk (de beide groepen hoeven eigenlijk niet eens even groot te zijn).

Je toetst `text(H)_0: mu_M - mu_V = 0` tegen `text(H)_1: mu_M - mu_V > 0` met `sigma = sqrt(2,39^2 + 2,13^2) ~~ 3,20` en `alpha = 0,05` . Uit de steekproef blijkt: `mu_M - mu_V = 2,4` . `text(P)(M - V > 2,4 | mu_M - mu_V = 0 text( en ) sigma = 3,20) ~~ 0,2266 > 0,05` en dus wijkt het gevonden resultaat niet genog af om te kunnen concluderen dat mannen grotere voeten hebben dan vrouwen.