`text(H)_1: p > 0,2` .
`p` is de kans dat een product niet deugt.
Dat is de kans dat `text(H)_0` verworpen wordt terwijl hij wel waar is (deze kans is hoogstens `5` %).
`text(P)(X > g | n = 40 ^^ p = 0,2) ≤ 0,05`
geeft
`g = 12`
.
Bij
`13`
of meer defecte exemplaren moet
`text(H)_0`
verworpen worden.
`X = 0, 1, ..., 104` bij een enkelzijdige toets: `text(H)_0: p = 0,30` tegen `text(H)_1: p < 0,30` met `alpha = 0,05` en een steekproef van `400` Nederlanders.
`X = 0, 1, ..., 5893` .
`text(P)(G ≥ 37 | n = 44 ^^ p = 0,75) ~~ 0,1081` . Dus een betrouwbaarheid van ongeveer `89,2` %.
`text(H)_0: mu = 12,4` tegen `text(H)_1: p != 12,4` .
`sigma ~~ 0,423` .
`text(P)(bar(X) < 11,875 | mu = 12,4 ^^ sigma = (0,423)/(sqrt(20)) ~~ 0,0000 < 0,05` dus de nulhypothese wordt verworpen.
`text(P)(bar(X) ≤ g_1 | mu = 12,4 ^^ sigma = (0,423)/(sqrt(20))) ≤ 0,05`
geeft
`g_1 ~~ 12,25`
.
`text(P)(bar(X) > g_2 | mu = 12,4 ^^ sigma = (0,423)/(sqrt(20))) ≤ 0,05`
geeft
`g_2 ~~ 12,55`
.
Dus de nulhypothese wordt verworpen als
`bar(X) ≤ 12,25`
of
`bar(X) ≥ 12,55`
.
`text(P)(K ≤ 47 | n = 100 ^^ p = 0,5) ~~ 0,3086 > 0,005` dus geen reden om aan te nemen dat het geldstuk onzuiver is (tweezijdige toets).
`text(P)(K ≤ g_1 | n = 1000 ^^ p = 0,5) ≤ 0,005`
geeft
`g_1 = 458`
.
`text(P)(K > g_2 | n = 1000 ^^ p = 0,5) ≤ 0,005`
geeft
`g_2 = 541`
.
Dus er is reden om aan te nemen dat de munt onzuiver is als je
`0, 1, ..., 458`
of
`541, 542, ..., 1000`
keer kruis gooit.
Het aantal geboorten was
`13`
dagen meer en
`7`
dagen minder dan het gemiddelde van
`430`
.
Je toetst
`text(H)_0: p = 0,5`
tegen
`text(H)_1: p > 0,5`
want je gaat er van uit dat er dagelijk
`50`
% kans is dat het aantal geboorten bovengemiddeld is.
`text(P)(X > g | n = 20 ^^ p = 0,5) ≤ 0,05`
geeft
`g = 14`
.
Met een kritiek gebied van
`X = 15, 16, ..., 20`
is het steekproefresultaat geen aanleiding om
`text(H)_0`
te verwerpen.
Op tenminste `15` dagen was het aantal geboorten beneden het jaargemiddelde.
`text(P)(G < 379 | mu = 430 ^^ sigma = 40) ~~ 0,0999 ~~ 0,10` .
`text(P)(A ≥ 10 | n = 50 ^^ p = 0,10) ~~ 0,0245 < 0,05` dus het aantal zondagen met een geboorte kleiner dan `379` is significant hoog.
De punten die alle mogelijke combinaties `(t,b)` geven liggen ongeveer op een rechte lijn.
`b ~~ 0,85t + 29,78` .
Als `t = 90` is bij regressie van `b` op `t` de gemiddelde bovenwijdte ongeveer `106,28` cm.
Het regressie-effect is klein omdat de correlatiecoëfficiënt dicht bij `1` ligt.
De kans dat een bal niet voldoet is `text(P)(X < 75 vv X > 78 | mu = 76,5 ^^ sigma = 0,70) ~~ 0,0324` . Bij een dagproductie van `125` ballen: `0,0324 * 125 ~~ 4` . Dus ongeveer `4` ballen per dag.
`text(P)(A = 5 | n = 5 ^^ p = 0,9676) ~~ 0,8481` , dus ongeveer `85` %.
`text(P)(X > g | n = 15 ^^ p = 0,05) ≤ 0,05`
geeft
`g = 2`
.
Het kritieke gebied is
`X = 3, 4, ..., 15`
.
(bron: examen wiskunde A vwo 1990, tweede tijdvak)
`text(P)(X < 500 | mu = 510 ^^ sigma = 4) = 0,0062` dus ongeveer `0,62` % (of `1` %).
`text(P)(T < 2525 | mu = 2550 ^^ sigma = 4 sqrt(5)) = 0,0026` .
De drie getallen moeten samen `30` zijn. Bijvoorbeeld `5` , `9` en `16` .
Vijf getallen met de gevraagde eigenschappen zijn bijvoorbeeld `500` , `500` , `500` , `530` en `530` (of `0` , `0` , `0` , `30` en `30` ). Je moet aantonen dat het gemiddelde ( `512` ) binnen de aangegeven grenzen ligt en dat de spreidingsbreedte ( `30` ) boven de aangegeven grens ligt.
Je toetst
`text(H)_0: p = 0,05`
tegen
`text(H)_1: p > 0,05`
met
`alpha = 0,025`
.
`text(P)(X > 6 | n = 50 ^^ p = 0,05) ~~ 0,0378 > 0,025`
dus de werknemer krijgt geen gelijk.
(bron: examen wiskunde A vwo 2001, eerste tijdvak, opgave 3)
`47,9` % van `493` is `236` meisjes en `60,2` % van `344` is `207` jongens doen economie.
Het totaal van de percentages in de kolom meisjes is `519,2` . Als alle meisjes naast Nederlands precies `5` andere vakken hadden, zou dit totaal `500` zijn, dus `19,2` % van de meisjes deed een extra vak.
Je toetst
`text(H)_0: p = 0,5`
tegen
`text(H)_1: p < 0,5`
met
`alpha = 0,01`
.
`text(P)(X ≤ 359 | n = 837 ^^ p = 0,5) ~~ 0,0000 > 0,01`
.
Conclusie: het onderzoeksresultaat geeft voldoende aanleiding om de onderwijsdeskundige
gelijk te geven.
(bron: examen wiskunde A vwo 2001, tweede tijdvak, opgave 1, gedeelte)
`16,0 * 0,333 * 4526 ~~ 24115`
dus in 2001 werden
`24.115`
miljoen sigaretten gerookt.
`16,3 * 0,295 * 4271 ~~ 20537`
dus in 2005 werden
`20.537`
miljoen sigaretten gerookt.
Dat is een afname van (ongeveer)
`(3578)/(24115) * 100 ~~ 15`
%.
`5/10 * 5/9 * 4/8 * 4/7 * 3/6 * 3/5 * 2/4 * 2/3 * 1/2 * 1 * 2 = 1/252 * 2 ~~ 0,008` .
`text(P)(X ≥ 6| n = 18 ^^ p = 0,2) = 1 - P(X ≤ 5) ~~ 0,1` .
Je toetst
`text(H)_0: p = 0,5`
en
`text(H)_1: p > 0,5`
met
`alpha = 0,05`
.
`text(P)(X ≥ 14 | n = 18 ^^ p = 0,5) ~~ 0,015 < 0,05`
dus er is voldoende aanleiding om het vermoeden van de onderzoekers te bevestigen.
Als dit aantal normaal verdeeld zou zijn, dan zou gelden:
`text(P)(X > 19,5 | mu = 11,4 ^^ sigma = a) = 0,245`
.
Dit geeft met de GR
`sigma ~~ 11,7`
.
Uitgaand van een normale verdeling zou men (circa)
`16`
% van de rokers
`1`
standaardafwijking (
`11,7`
) onder het gemiddelde (
`11,4`
) moeten aantreffen (dus een aanzienlijk deel van de rokers zou geen sigaretten roken,
en dat kan natuurlijk niet).
(bron: examen wiskunde A vwo 2010, eerste tijdvak)