Rijen

Opgave 8

Op 31 december 2005 leefden er in een natuurgebied `2000` konijnen. Hun aantal is in de jaren daarna telkens met `5` % toegenomen.

a

Stel een recursieformule op voor het aantal konijnen `K(t)` waarin `t` het aantal jaren na 31 december 2005 is.

b

Stel een directe formule op voor `K(t)` .

c

In welk jaar is het aantal konijnen meer dan verdubbeld ten opzichte van 31 december 2005?

Opgave 9

Op 1 juni 2012 waren er in een natuurgebied `1000` herten. Het aantal herten bereken je met de recursieformule `H(t)=text(-)0,00002H(t-1)^2+1,5H(t-1)` , waarbij `t` het aantal jaar na 1 juni 2012 is.
Hoeveel herten zullen er op den duur in dit natuurgebied zijn?

Opgave 10

Marco heeft op 1 januari 2000 een erfenis van € `500000,00` gekregen. Hij heeft dit bedrag meteen op een renterekening gezet tegen 5% rente per jaar. Hij haalt elke maand € 2500,00 van de bank. Het saldo van de renterekening `S_n` verandert daardoor maandelijks. Hierbij is `n` het aantal maanden na 1 januari 2000.

a

Stel hierbij een recursieformule op.

b

Na hoeveel jaar en hoeveel maanden kan Marco geen € 2500,00 meer van de rekening afhalen?

c

Stel een directe formule op voor het saldo `S_n` .

Opgave 11

Leonardo van Pisa (ongeveer 1180–1250) geeft in zijn boek "Liber Abaci" uit 1202 het volgende raadsel weer:
"In een afgesloten gebied zet ik één paar konijnen. Dit paar werpt elke maand één paar jongen. Al die jongen krijgen op hun beurt ook weer jonge konijntjes, maar pas vanaf hun tweede levensmaand en dan ook weer elke maand één paar jongen. Hoeveel paren konijnen zijn er nu na één jaar?"

a

Stel een recursieformule op voor het aantal konijnen `A` na `n` maanden.

b

Onderzoek hoe de toename van deze konijnen gaat verlopen met behulp van de grafische rekenmachine.

c

Beantwoord de vraag die Leonardo van Pisa in zijn raadsel stelt.

Opgave 12

Stel dat er maar twee softwarebedrijven zijn die een internetbrowser op de markt brengen, "Discoverer" en "Landscape" . Beide bedrijven beconcurreren elkaar hevig, zodat de gebruikers van een internetbrowser jaarlijks reikhalzend uitzien naar de nieuwste versie van de Discoverer of van Landscape. Ervaren gebruikers wisselen ook nogal eens van browser. In deze graaf zie je de wisselingen in beeld gebracht.

a

Stel bij deze graaf een stelsel differentievergelijkingen op. Noem het aantal gebruikers van de Discoverer `D(t)` en dat van Landscape `L(t)` .

b

Maak op de grafische rekenmachine de grafieken van de rijen `D(t)` en `L(t)` voor `n=0 ,1 ,2 ,3 ,... ,10` . Ga er van uit dat `D(0 )=0,5` en `L(0 )=0,5` .

c

Bereken met de differentievergelijkingen hoeveel procent van de gebruikers uiteindelijk in de evenwichtssituatie de Discoverer zal gebruiken.

Opgave 13

Als je melk uit de koelkast haalt en in een glas schenkt, loopt de temperatuur op vanaf `T(0 )=6` °C (de temperatuur binnen de koelkast) naar de kamertemperatuur van `20` °C. De toename van de temperatuur per minuut is recht evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving.

a

Leg uit dat hieruit deze recursieformule is af te leiden: `T(t+1 )=T(t)+c*(20 -T(t))` met `T(0)=6` waarin `t` het aantal minuten voorstelt.

Neem aan dat `c=0,1` .

b

Bepaal na hoeveel minuten de temperatuur van de melk minder dan `1` °C verschilt van de kamertemperatuur.

c

Laat zien hoe de grenswaarde uit de gegeven recursieformule is af te leiden.

Opgave 14

Er wordt een nieuw maandblad voor jongeren opgericht. Aanvankelijk groeit het aantal abonnees sterk. Van het eerste blad werden `3000` exemplaren verkocht, maar van het tweede waren dat er al `5670` , een stijging van ongeveer 90%.
Men gaat ervan uit dat die stijging de komende maanden zo door gaat.

a

Stel een daarbij passende differentievergelijking voor het aantal abonnees `A(t)` in maand `t` . Neem aan dat `t=0` de maand van de eerste oplage voorstelt.

b

Waarom is dit groeimodel voor het aantal abonnees van dit blad onwaarschijnlijk?

Na verloop van tijd wordt de groei van het aantal abonnees echter kleiner. Voor `A(t)` blijkt de volgende recursieformule te gelden:

`A(t)=1,95 *A(t-1 )-0.00002 * (A(t-1 )) ^2`

c

Teken de bijpassende grafiek, weer uitgaande van `A(0 )=3000` .

d

Op hoeveel abonnees zal dit maandblad uiteindelijk uitkomen?

Opgave 15

Gegeven is de recursieformule `u(n)=text(-)1/3 *(u(n-1))^3` voor `n=1, 2, 3, ...` .
Of de rij `u(n)` naar een bepaalde grenswaarde gaat, is afhankelijk van de beginwaarde `u(0)` .

a

Stel dat de beginwaarde `u(0)` zo gekozen wordt dat de rij naar een grenswaarde gaat. Welke grenswaarde is dat dan?

b

Bereken exact voor welke beginwaarden `u(0)` de rij naar de grenswaarde gaat die je in a hebt gevonden.

Verwerken