Rijen > Discrete dynamische modellenVoorbeeld 1
Staatsbosbeheer heeft een perceel waarop ongeveer
`6000`
bomen van een bepaalde
soort kunnen staan. Dit perceel is bedoeld als productiebos: na een aantal jaren zijn
de
eerste bomen groot genoeg om te kunnen worden gekapt. Om een stabiele jaarlijkse
opbrengst te hebben, wordt er jaarlijks maar
`18`
% van de bomen gekapt en worden
er
`1000`
aangeplant. Het eerste jaar zijn er
`5000`
bomen geplant.
Stel een dynamisch model op voor het aantal bomen op dit perceel en breng het verloop
ervan in beeld.
Noem het aantal bomen `B` , dan is:
-
`B(t)=0,82 *B(t-1 )+1000`
-
`B(0 )=5000`
Met Excel of met de grafische rekenmachine maak je hierbij snel een tabel.
|
|
|
Je kunt hierbij ook de directe formule opstellen door de recursie uit te schrijven:
`B(t)=5000 *0,82^t+1000 *0,82^ (t-1) +1000 *0,82^ (t-2) +... +1000`
Met de
somformule voor een meetkundige rij vind je:
`B(t)=5555 5/9-555 5/9*0,82^t`
Omdat `0,82^t ~~ 0` als `t` heel groot wordt, zullen er uiteindelijk jaarlijks ongeveer `5556` bomen op dit perceel staan.
Op 1 januari 2010 stonden er in een bos `4000` bomen. Elk jaar wordt `8` % van de bomen gekapt en na het kappen worden er `500` bomen geplant.
Noem het aantal bomen `B` en stel een lineaire differentievergelijking op.
Een boswachter telt elk jaar op 1 januari het aantal bomen. Wanneer zal hij voor het eerst meer dan `5400` bomen in het bos hebben?
Stel de directe formule op en bepaal aan de hand daarvan hoeveel bomen de boswachter uiteindelijk elk jaar op 1 januari zal tellen.
Stel je voor dat je bij een bank een rentepercentage van `12` % per jaar kunt krijgen. Je spaart € `1500,00` per jaar en je bent gestart op 1 januari 2000.
Stel een lineaire differentievergelijking op voor `K(t)` , waarbij `K` het kapitaal (euro) is aan het begin van het `t` -de jaar.
Wat gebeurt er met het saldo als `t` toeneemt?
Op welk tijdstip is het saldo hoger dan € `20000,00` ?