Rijen > Discrete dynamische modellenVoorbeeld 2
De Belgische wiskundige Pierre François Verhulst (1804 - 1849) ontdekte dat de meeste populaties niet exponentieel groeien. Hij ontwikkelde op basis van een aangenomen maximale populatieomvang `M` een beter passend model: het logistische groeimodel. Daarbij hoort een recursieformule van de vorm
-
`H(t)=c*(M-H(t-1 ))*H(t-1 )`
-
`H(0 )=b`
Neem `M=1000` , `b=20` en `c=0,0025` en laat met de grafische rekenmachine zien dat `H` naar een bepaalde grenswaarde toegroeit. Bereken ook deze grenswaarde.
Je kunt deze rij op de grafische rekenmachine of in Excel invoeren. Je ziet dat `H(t)` inderdaad naar de grenswaarde `600` nadert. Deze waarde kun je ook als volgt berekenen:
Als `H(t)` naar een bepaalde grenswaarde groeit naarmate `t` groter wordt, dan geldt voor grote `t` dat `H(t)~~H(t-1)` . Zeg `H(t)=x` , dan geldt voor grote `t` :
`x~~0,0025*(1000-x)*x`
Als je de vergelijking `x=0,0025*(1000-x)*x` oplost, krijg je `x=0 vv x=600` .
Dit betekent dat de grenswaarde `600` is.
|
|
|
|
In het voorbeeld zie je de recursieformule `H(t)=c*(M-H(t-1 ))*H(t-1 )` met `H(0 )=b` .
Neem `M=800` , `b=10` en `c=0,0018` en bepaal welke grenswaarde `H(t)` benadert.
Neem `M=1500` , `b=25` en `c=0,0015` en bepaal welke grenswaarde `H(t)` benadert.
Neem `M=5, b=3` en `c=0,9` . Waarom kun je nu de grenswaarde niet uitrekenen?