Analytische meetkunde

Analytische meetkunde > Cartesische coördinaten

1234567Cartesische coördinaten

Voorbeeld 3

Bekijk de applet.

Nog eens het schatgraverprobleem...
$E$ is variabel, $Z_{1}$ en $Z_{2}$ liggen vast.
Gegeven: $| E Z_{1} | = | Z_{1} P |$ en $| P Z_{2} | = | Z_{2} Q |$ en de hoeken $E Z_{1} P$ en $P Z_{2} Q$ zijn recht. Gevraagd is aan te tonen dat het midden $S$ van $E Q$ niet van plaats kan veranderen.

> antwoord

Je ziet een nieuwe figuur, waar $E$ wat is verschoven zodat de congruente (gelijke) driehoekjes zichtbaar worden: $△ E A Z_{1} ≅ △ Z_{1} B P$ en $△ P B Z_{2} ≅ △ Z_{2} C Q$ .

Neem $E = (- x, y)$ , dan is $| E A | = y$ en $| A Z_{1} | = x$ . En dus is ook $| Z_{1} B | = y$ en $| B P | = x$ .
$| B Z_{2} | = 3 - y$ . Tenslotte is $| Z_{2} C | = | B P | = x$ en $| C Q | = | B Z_{2} | = 3 - y$ .

De coördinaten van $Q$ zijn daarom $(3 + x, 3 - y)$ .
Het midden van $E Q$ is dus $S = (\frac{- x + 3 + x}{2}, \frac{y + 3 - y}{2}) = (1,5; 1,5)$ .

Kennelijk is de plaats van $S$ niet van $x$ en $y$ afhankelijk, de plek van de schat ligt vast!!

Opgave 10

Terug naar de schat. Je ziet in de applet van het schatgravers probleem in Voorbeeld 3 dat het bewegen van punt $E$ geen invloed heeft op de plaats van de schat, punt $S$ . Neem nu voor de oude eik het punt $E (- x, y)$ en toon door berekening aan dat de schat — het punt $S$ — niet verandert.

verder | terug