Analytische meetkunde

Opgave 18

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de snijpunten van:

a

lijn $l : x + y = 6$ en cirkel $c : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 10$

b

lijn $m : 5 x - 2 y = 10$ en lijn $k : 2 x = 12 - 3 y$

c

lijn $l : x + y = 6$ en parabool $y^{2} = 4 x$

Opgave 19

Voor welke waarde van $a$ hebben de lijnen $a x + 4 y = 10$ en $2 x + y = 6$ geen snijpunt?

Opgave 20

Als je in een cirkel twee lijnen trekt die allebei door het middelpunt $M$ gaan, dan vormen de vier snijpunten van die lijnen met de cirkel een rechthoek. Deze stelling kun je met analytische meetkunde bewijzen.

a

Kies een assenstelsel waarvan $O (0, 0)$ het middelpunt van de cirkel is en het punt $(1, 0)$ een punt op de cirkel is. Welke vergelijking heeft de cirkel dan?

b

De éne lijn door het middelpunt van de cirkel is bijvoorbeeld de $x$ -as, de andere is dan $y = a x$ . Welke vier snijpunten met de cirkel vind je?

c

Waarom vormen deze vier punten een rechthoek?

d

Kun je ook een bewijs geven zonder analytische meetkunde?

Opgave 21

Mobiele telefoons hebben soms "geen bereik" . Dat betekent dat er geen mast met antenne dicht genoeg in de buurt is om mee in verbinding te kunnen staan. Stel je voor dat zo’n antenne een bereik heeft van `30` km. Op `15` km van de snelweg A1 staat een mast met zo’n antenne. Gedurende hoeveel km op de A1 kun je via die antenne met je mobiele telefoon verbinding maken? Probeer dit met analytische meetkunde op te lossen.

Opgave 22

Met een passer kun je gemakkelijk een gelijkzijdige driehoek construeren. Cirkel $A B$ om vanuit punt $A$ en daarna vanuit punt $B$ en markeer één van de twee snijpunten van die cirkels als punt $C$ . $△ A B C$ is dan de gewenste gelijkzijdige driehoek. Dit kun je ook met analytische meetkunde doen (en met GeoGebra). Neem een cartesisch $O x y$ -assenstelsel en $A (- a, 0)$ en $B (a, 0)$ met $a > 0$ .

a

Cirkel $c_{1}$ heeft middelpunt $A$ en straal $A B$ . Stel een vergelijking voor $c_{1}$ op.

b

Cirkel $c_{2}$ heeft middelpunt $B$ en straal $A B$ . Stel een vergelijking voor $c_{2}$ op.

c

Bereken de snijpunten van $c_{1}$ en $c_{2}$ .

d

Noem één van beide snijpunten $C$ en laat zien dat de afstanden tussen $A$ , $B$ en $C$ even lang zijn.

Verwerken