Analytische meetkunde

Analytische meetkunde > Hoeken

Theorie

Bekijk de applet.

Elke rechte lijn in $ℝ^{2}$ heeft een vergelijking van de vorm $a x + b y = c$ .
Dit schrijf je als $y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}$ mits $b \neq 0$ .
En dus heeft elke lijn (behalve een lijn evenwijdig aan de $y$ -as) een richtingscoëfficiënt (hellingsgetal) $r = - \frac{a}{b}$ en te schrijven is in de vorm $y = r x + q$ .

Bij de r.c. `r` hoort een hellingshoek $α$ , de hoek die de lijn met de positieve $x$ -as maakt. Deze hoek ligt tussen $- 90^{\circ}$ en $90^{\circ}$ .
Er geldt: $\tan α = r$ .
Met behulp van deze hellingshoeken bereken je de hoek die twee lijnen met elkaar maken.
Een belangrijke stelling is:

Als voor twee lijnen `l` en `m` met richtingscoëfficiënten `r_l` en `r_m` geldt dat `r_l * r_m = -1` dan staan beide lijnen loodrecht op elkaar.
Staan omgekeerd twee lijnen `l` en `m` met richtingscoëfficiënten `r_l` en `r_m` loodrecht op elkaar, dan geldt `r_l * r_m = -1` .

> bewijs

Kies het assenstelsel zo, dat de oorsprong op het snijpunt van beide lijnen ligt.
Ga eerst uit van $r_{l} \cdot r_{m} = - 1$ , dan zijn de rechthoekige twee driehoeken $O Q P$ en $R O P$ gelijkvormig omdat de verhoudingen van de zijden dan gelijk zijn. (Ga dat na!)
Dit betekent dat $∠ P O R = ∠ P Q O$ .
En omdat $∠ P O Q + ∠ P Q O = ∠ P O Q + ∠ P O R = 90^{\circ}$ . is de hoek tussen beide lijnen $90^{\circ}$ .
Ga vervolgens uit van de loodrechte stand van beide lijnen, dus $∠ P O Q + ∠ P O R = 90^{\circ}$ . Dan kun je aantonen dat de rechthoekige driehoeken $O Q P$ en $R O P$ dezelfde hoeken hebben en dus gelijkvormig zijn. Dan zijn de verhoudingen van de zijden gelijk en is $\frac{| P R |}{1} = \frac{1}{| P Q |}$ en dus geldt $R = (1, r_{m})$ en $Q = (1, - \frac{1}{r_{m}})$ .
Dat laatste betekent $r_{l} \cdot r_{m} = - \frac{1}{r_{m}} \cdot r_{m} = - 1$ .

verder | terug