Analytische meetkunde > TotaalbeeldToepassen
Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn die door een hoekpunt gaat en loodrecht staat op de zijde tegenover dat hoekpunt.In elke driehoek gaan de drie hoogtelijnen door één punt. Deze stelling kun je met analytische meetkunde als volgt bewijzen: Kies het assenstelsel zo, dat en op de -as liggen en dat op de -as ligt. Dus , en .
Welke vergelijking heeft de hoogtelijn door nu?
Stel een vergelijking op van de hoogtelijn door en stel een vergelijking op van de hoogtelijn door .
Toon nu aan dat alle drie de hoogtelijnen door hetzelfde punt gaan.
Een middelloodlijn van een lijnstuk is een lijn die door het midden van gaat en er loodrecht op staat. Een manier om zo’n middelloodlijn te construeren is door twee even grote cirkels om en om te tekenen en een lijn te trekken door beide snijpunten van die cirkels. Met analytische meetkunde kun je bewijzen dat je zo inderdaad een middelloodlijn krijgt.
Kies een geschikt assenstelsel. Welke coördinaten geef je en ?
Stel vergelijkingen op van twee even grote cirkels om en om .
Hoe maak je nu het bewijs af?
De drie middelloodlijnen van de zijden van een driehoek gaan door één punt. Dit punt is het middelpunt van de cirkel die door de drie hoekpunten van de driehoek gaat. Deze stellingen kun je met analytische meetkunde bewijzen. Doe dit door een geschikt assenstelsel te kiezen.
Hoe kun je het resultaat van de vorige opgave gebruiken om de vergelijking op te stellen van een cirkel door drie gegeven punten?
Beschrijf de rekenprocedure die je dan moet volgen.
Stel een vergelijking op van de cirkel door , en .
Deze opdracht is echt bedoeld voor wie goed met variabelen kan rekenen.
Bewijs dat de afstand
van punt
tot lijn
gelijk is aan:
.
Behalve cirkels zijn er meer krommen die met kwadratische verbanden kunnen worden beschreven. Bekend zijn parabool, ellips en hyperbool.
Bekijk de applet.
Hier zie je de constructie van een ellips. Hij ontstaat als je punt `A` over de richtcirkel `c` beweegt. Punt `P` doorloopt dan een elliptische baan. Je kunt zien dat punt `P` is geconstrueerd als een punt met gelijke afstand tot het brandpunt `F` en de richtcirkel `c` . En dat kun je gebruiken om een vergelijking van de ellips op te stellen.
Ga na, dat je vindt: `16(x – 1,5)^2 + 25y^2 = 100` .
Behalve cirkels zijn er meer krommen die met kwadratische verbanden kunnen worden beschreven. Bekend zijn parabool, ellips en hyperbool.
Bekijk de applet.
Hier zie je de constructie van een parabool. Hij ontstaat als je punt `A` over de richtlijn beweegt. De richtlijn is in dit geval de `x` -as. Punt `P` doorloopt een parabolische baan. Je kunt zien dat punt `P` is geconstrueerd als een punt met gelijke afstand tot het brandpunt `F` en de richtlijn `r` . En dat kun je gebruiken om een vergelijking van de parabool op te stellen.
Ga na, dat je vindt: `y=0,25x^2+1` .