Vectormeetkunde

Vectormeetkunde > Inproduct

Overzicht

1234567Inproduct

Uitleg

Bekijk de applet

In een cartesisch `xy` -assenstelsel bestaan twee eenheidsvectoren `vec(e_x)=((1),(0))` en `vec(e_y)=((0),(1))` .

Deze twee vectoren maken een hoek van `90^(text(o))` en hebben daarom een inproduct van `0` :

`vec(e_x)*vec(e_y)= | vec(e_x) | * | vec(e_y) | * cos(90^(text(o))) = 1*1*0 = 0` .

Nu is elke vector te schrijven als een combinatie van eenheidsvectoren. Neem bijvoorbeeld:

`vec(a)=((text(-)2),(3))=text(-)2*((1),(0)) + 3*((0),(1)) = text(-)2*vec(e_x) + 3 vec(e_y)` .

en `vec(b) = ((2),(1) ) = 2*((1),(0)) + 1*((0),(1)) = 2*vec(e_x) + 1*vec(e_y)` .

Voor het inproduct van beide krijg je dan: `vec(a)*vec(b) = (text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y) )*(2 vec(e_x) + 1 vec(e_y) )` .

Als je nu aanneemt dat ook voor het inproduct van twee vectoren de regels voor het uitwerken van haakjes gelden en gebruik je `vec(e_x)*vec(e_y) = 0` en `vec(e_x)*vec(e_x) = 1` en `vec(e_y)*vec(e_y) = 1` , dan vind je: `vec(a)*vec(b)=text(-)2*2 + 3*1 = text(–)1` .

Kennelijk hoef je alleen de overeenkomstige kentallen te vermenigvuldigen en de twee uitkomsten op te tellen om het inproduct van beide vectoren te krijgen.

Opgave 3

Bekijk de Uitleg 1. Hier wordt uitgelegd hoe je het inproduct van twee vectoren gegeven door kentallen in een cartesisch assenstelsel kunt bepalen.

Waarom is $\vec{(e_{x})} \cdot \vec{(e_{y})} = 0$ ?

Waarom is $\vec{(e_{x})} \cdot \vec{(e_{x})} = 1$ en $\vec{(e_{y})} \cdot \vec{(e_{y})} = 1$ ?

Laat zien dat het inproduct van `((text(-)2),(3))` en `((2),(1))` inderdaad $-2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = -1$ is door haakjes uitwerken.

Bereken op dezelfde manier met behulp van eenheidsvectoren het inproduct van `((1),(4))` en `((2),(3))` .

Opgave 4

In het algemeen geldt voor het inproduct van de vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ : $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)$ waarin $φ$ de hoek tussen $\vec{a}$ en $\vec{b}$ is. Neem nu `vec(a)=((-2),(3))` en `vecb=((2),(1))` .

Gebruik het inproduct van beide vectoren om de hoek $φ$ ertussen te berekenen.

Opgave 5

Neem `vec(a)=((1),(text(-)5))` en `vec(b)=((text(-)3),(text(-)2))` en bereken het inproduct van beide vectoren. Gebruik dit inproduct om de hoek $φ$ tussen $\vec{a}$ en $\vec{b}$ te berekenen.

Opgave 6

Neem $\vec{a} = ((a_{x}), (a_{y}))$ en $\vec{b} = ((b_{x}), (b_{y}))$ en laat zien dat $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$ .

verder | terug