Vectormeetkunde

Vectormeetkunde > Van 2D naar 3D

1234567Van 2D naar 3D

Uitleg

Hier zie je een driedimensionaal cartesisch `Oxyz` -assenstelsel met balk `OABC.DEFG` .
Punt `F` heeft de coördinaten `(4, 2, 3)` .
Je ziet: eerst de `x` -coördinaat, dan de `y` coördinaat en tenslotte de `z` -coördinaat.
Hieruit leid je gemakkelijk de coördinaten van de andere hoekpunten van de balk af, bijvoorbeeld:
`O(0, 0, 0)` , `A(4, 0, 0)` , `B(4, 2, 0)` en `D(0, 0, 3)` .
En uit `vec(OF) = ((4),(2),(3))` kun je afleiden dat
`vec(OE) = ((4),(0),(3))` , `vec(EG) = ((4),(2),(0))` en `vec(AG) = ((text(-)4),(2),(3))` .
Een mogelijke vectorvoorstelling van lijn `AG` is `((x),(y),(z)) = ((4),(0),(0)) + t*((text(-)4),(2),(3))` .
Bijzonder is ook dat de lengte van $\vec{O F}$ kan worden berekend door de stelling van Pythagoras uit te breiden naar drie dimensies: | $\vec{O F}$ | = $\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{29}$ .

Opgave 2

Bekijk de Uitleg . Werken met coördinaten en vectoren in drie dimensies is in veel gevallen een eenvoudige uitbreiding van het werken in twee dimensies.

Beschrijf de vectoren `vec(CE)` , `vec(EC)` , `vec(DF)` en `vec(DB)` met kentallen.

Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek toe te passen hoe de lengte van $\vec{(O F)}$ wordt berekend.

Bereken de lengtes van de vectoren $\vec{(C E)}, \vec{(E C)}, \vec{(D F)}$ en $\vec{(D B)}$ .

Opgave 3

Ga in de Uitleg na hoe de vectorvoorstelling van lijn $A G$ in elkaar zit.

Stel zelf vectorvoorstellingen op van de lijnen $B D$ en $C D$ .

Hoe zien de vectorvoorstellingen van de assen er uit?

Heeft de lijn $A G$ ook een vergelijking? Licht je antwoord toe.

Hebben lijnen normaalvectoren in 3D? Kun je die gebruiken om vergelijkingen van lijnen te maken?

Opgave 4

Ook het inproduct van twee vectoren is eenvoudig uit te breiden naar drie dimensies.

Bereken het inproduct van $\vec{(C E)}$ en $\vec{(A G)}$ .

Bereken met behulp van het antwoord bij a de hoek tussen de lijnen `AG` en `CE` .

verder | terug