Vectormeetkunde

Opgave 8

Teken een balk $O A B C . D E F G$ (of maak hem met GeoGebra) met $A (6, 0, 0), C (0, 4, 0)$ en $D (0, 0, 4)$ . Punt $P$ is het midden van $A E$ en punt $Q$ is het midden van $D G$ .

a

Stel een vectorvoorstelling van lijn $P Q$ op.

b

Stel een vectorvoorstelling van vlak $A C D$ op

c

Stel een vergelijking van vlak $A C D$ op.

d

Toon aan dat lijn $P Q$ evenwijdig is met vlak $A C D$ .

e

Bereken de afstand van punt $F$ tot vlak $A C D$ in twee decimalen nauwkeurig.

f

Onderzoek of de lijnen $P Q$ en $B G$ elkaar snijden.

Opgave 9

Gegeven is de kubus $O A B C . D E F G$ met $A (4, 0, 0), C (0, 4, 0)$ en $D (0, 0, 4)$ . Punt $P$ is het midden van $E F$ . Het vlak $V$ gaat door punt $G$ en staat loodrecht op lijn $O P$ .

a

Stel een vergelijking op van vlak $V$ .

b

Stel een vectorvoorstelling op van vlak $V$ .

c

Bereken de snijpunten van vlak $V$ met de ribben van de kubus.

d

Je kunt nu vlak $V$ in de kubus tekenen. Stel vectorvoorstellingen op van de snijlijnen van vlak $V$ met de kubus.

e

Bereken de snijpunten van vlak $V$ met de drie coördinaatassen.

f

Bereken de afstand van punt $P$ tot vlak $V$ .

Opgave 10

$Δ A B C$ is gegeven door $A (a, 0, 0), B (0, b, 0)$ en $C (0, 0, c)$ .

a

Bereken de coördinaten van het zwaartepunt $Z$ van deze driehoek.

b

Bereken de afstand van $O$ tot $Z$ .

Opgave 11

Hieronder wordt de positie van een punt $P$ in de ruimte beschreven. Omdat de coördinaten van $P$ nog variabelen bevat, beschrijft het punt een lijn of een vlak. Bepaal ingeval $P$ een lijn beschrijft een vectorvoorstelling van die lijn en bepaal ingeval $P$ een vlak beschrijft een vergelijking van dat vlak.

a

$P = (1 + p + q, p + 2 q, p)$

b

$P = p (2, 1, -3) + q (-4, -2, 6)$

c

$P = (1 - p + 3 q, 4 - p + q, -1 + 2 p -4 q)$

d

$P = (1, 0, 1) + p (2, -3, 4) + q (-1, 0, 0)$

e

$P = (1 - p, 2 + p, 0)$

Opgave 12

Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide $T . O A B C$ met $A (4, 0, 0), C (0, 4, 0)$ en $T (2, 2, 6)$ . Punt $P$ is het midden van ribbe $O T$ .

a

Het vlak $V$ door $A$ , $B$ en $P$ snijdt ribbe $C T$ in punt $Q$ .Bereken de coördinaten van $Q$ .

b

Toon aan dat vierhoek $A B Q P$ een trapezium is.

c

Bereken oppervlakte van vierhoek $A B Q P$ .

d

Bereken de afstand van $T$ tot vlak $A B Q P$ .

e

De vlakken $A B T$ en $O C T$ hebben een snijlijn $l$ . Bereken het snijpunt van $l$ met het $O x z$ -vlak.

Opgave 13

De punten $A (6, 0, 0), B (0, 6, 0), C (-6, 0, 0), D (0, -6, 0)$ en $T (0, 0, 6)$ bepalen een regelmatig vierzijdige piramide $T . A B C D$ . Punt $P$ is het midden van $A T$ en punt $Q$ ligt op $B T$ zo, dat $B Q : Q T = 1 : 2$ .

a

Welke coördinaten moet punt $Q$ hebben? Licht je antwoord toe.

b

Het vlak $V$ door $P$ , $Q$ en $D$ snijdt ribbe $B C$ in punt $R$ . Bereken de coördinaten van $R$ .

c

Bereken de afstand van punt $O$ tot vlak $V$ .

d

$S$ is het snijpunt van $V$ met lijn $A C$ . Bereken de lengte van lijnstuk $P S$ .

Opgave 14

Stel in een cartesisch $O x y z$ -assenstelsel een formule op voor de afstand van punt $O$ tot het vlak $V$ gegeven door $a x + b y + c z = d$ . Stel een algemene formule op van de afstand van $P (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ tot dit vlak $V$ .

Verwerken