Vectormeetkunde

Vectormeetkunde > Lijnen en vlakken

1234567Lijnen en vlakken

Voorbeeld 3

Gegeven piramide `T.OABC` met `A(4, 0, 0)` , `B(4, 4, 0)` , `C(0, 4, 0)` en `T(4, 0, 4)` . `M` is het midden van `AT` .
Bereken de afstand van `A` tot vlak `OBT` .

> antwoord

De vergelijking van vlak `OBT` is in Voorbeeld 2 gevonden: `x - y - z = 0` .
Een loodlijn door `A` op dit vlak heeft daarom de vectorvoorstelling:
`((x),(y),(z)) = ((4),(0),(0)) + p*((1),(text(-)1),(text(-)1))`
Het punt `(4 + p, text(-)p,text(-)p)` van deze loodlijn ligt in `OBT` als `4 + p – (text(-)p) – (text(–)p) = 0` , dus als `p = text(-)4/3` .
Dit geeft als snijpunt van de loodlijn door `A` met vlak `OBT` : `S(2 2/3; 1 1/3; 1 1/3)` .
De lengte van $\vec{A S}$ is nu de gevraagde afstand.

Opgave 6

In Voorbeeld 3 zie je hoe je de afstand van een punt tot een vlak kunt berekenen.

Voer zelf de berekening uit en bereken de gevraagde afstand in twee decimalen nauwkeurig.

Bereken ook de afstand van punt $T$ tot vlak $B C M$ .

Opgave 7

Bekijk de balk `OABC.DEFG` met `A(3, 0, 0)` , `C(0, 2, 0)` en `D(0, 0, 2)` . Verder is `M` het midden van `AB` en `N` dat van `AE` .

Onderzoek of de lijnen $D B$ en $C N$ een snijpunt hebben.

De vlakken $D N M C$ en $G E F$ snijden elkaar volgens een lijn $l$ . Maak een vectorvoorstelling van die lijn door de twee vectorvoorstellingen van de vlakken aan elkaar gelijk te stellen.

Je kunt ook een vectorvoorstelling van $l$ maken door twee punten op te zoeken die aan beide vergelijkingen van de vlakken voldoen. Bepaal ook op die manier een vectorvoorstelling van $l$ .

Bereken de snijpunten van $l$ met de vlakken $A B F E$ en $B C G F$ .

verder | terug