Vectormeetkunde

Vectormeetkunde > Lijnen en vlakken

1234567Lijnen en vlakken

Uitleg

Je ziet hier een balk `OABC.DEFG` met `A(3, 0, 0)` , `C(0,2,0)` en `D(0, 0, 2)` . Verder is `M` het midden van `AB` en `N` dat van `AE` .

Voor elk punt `P` op lijn `DN` geldt: $\vec{O P} = \vec{O D} + p \cdot \vec{D N}$ .
Een vectorvoorstelling van `DN` is dus `((x), (y), (z)) = ((0),(0),(2)) + p*((3),(0),(text(-)1))` .
Het verband tussen `x` , `y` en `z` is hieruit niet tot één vergelijking met die drie variabelen te herschrijven. Immers `P(x, y, z) = (3p, 0, 2-p)` .
Hieruit volgt: `p=1/3 x` .
Substitueer je dit in `z = 2 - p` , dan vind je de vergelijking `x + 3z = 6` . Maar hieraan voldoen niet alleen punten met `y=0` (zoals `P` ), maar ook punten met andere `y` -coördinaten.
En die liggen helemaal niet op de lijn `DN` !

Een lijn is in $ℝ^{3}$ NIET met één vergelijking te beschrijven. Je hebt er twee vergelijkingen voor nodig. Voor lijn `DN` zijn dat de vergelijkingen `x + 3z = 6` en `y=0` .
Omdat dit vaak nogal lastig is, gebruik je meestal vectorvoorstellingen van lijnen in $ℝ^{3}$ .

Voor elk punt `P` in het vlak `MCDN` geldt: $\vec{O P} = \vec{O D} + q \cdot \vec{D N} + r \cdot \vec{D C}$ .
Een vectorvoorstelling van dit vlak is daarom `((x), (y), (z)) = ((0),(0),(2)) + q*((3),(0),(text(-)1)) + r*((0),(2),(text(-)2))` .
Dus is `P(x, y, z)=(3q, 2r, 2 - q - 2r)` . Hieruit volgt: `q=1/3 x` en `r=1/2 y` .
Substitueer je dit in `z=2 - q - 2r` , dan vind je de vergelijking `x+3y+3z=6` .
Een vlak is in $ℝ^{3}$ WEL met één vergelijking te beschrijven. Ga zelf na, dat de coördinaten van `M` inderdaad aan de vergelijking voldoen.
Merk verder op dat uit de vergelijking als normaalvector van het vlak `vec(n) = ((1),(3),(3))` te voorschijn komt. Ga maar na, dat deze vector loodrecht staat op beide richtingsvectoren: hun inproduct is `0` .
En zo'n normaalvector van een vlak is weer handig bij het berekenen van afstanden...

Opgave 1

Bekijk de Uitleg . Je ziet een vectorvoorstelling van lijn $D N$ .

Laat zelf zien dat alle punten op die lijn voldoen aan $x + 3 z = 6$ .

Noem een paar punten die niet op lijn $D N$ liggen, maar wel aan deze vergelijking voldoen.

Om de punten op de lijn te beschrijven heb je behalve $x + 3 z = 6$ nog een vergelijking nodig. Welke bijvoorbeeld?

Opgave 2

In de Uitleg zie je een vectorvoorstelling van vlak $M C D N$ .

Stel zelf een andere vectorvoorstelling op van dit vlak.

Laat zien, dat ook jouw vectorvoorstelling dezelfde vergelijking van het vlak oplevert.

Controleer dat de normaalvector van het vlak die je uit de vectorvoorstelling kunt aflezen, inderdaad loodrecht op beide richtingsvectoren staat.

Bekijk nu het vlak $E F C$ . Stel van dit vlak een vectorvoorstelling en een vergelijking op.

Opgave 3

Een normaalvector van het vlak kun je ook rechtstreeks uit de richtingsvectoren afleiden. Bekijk de vectorvoorstelling van vlak $M C D N$ nog eens in de >Uitleg . De richtingsvectoren zijn $\vec{(D N)}$ en $\vec{(D C)}$ .

Neem aan dat de normaalvector van dit vlak `vec(n)=((a),(b),(c))` is. Deze normaalvector staat loodrecht op elk van de twee richtingsvectoren. Welke twee vergelijkingen in $a$ , $b$ en $c$ levert dit op?

Omdat je een normaalvector altijd kunt verlengen of verkorten, kun je rustig één van de drie onbekenden gelijk stellen aan 1. Welke normaalvector vind je nu?

En hoe maak je nu de vergelijking van vlak $M D C N$ ?

Maak op deze manier ook de vergelijking van vlak $E F C$ .

verder | terug