Vectormeetkunde

Opgave 7

Gegeven zijn punt $A (1, 2, 3)$ en de lijnen $l$ en $m$ en vlak $V$ door:
`l: ((x),(y),(z))=((4),(1),(text(-)1))+p((text(-)2),(3),(3))`
en
`m: ((x),(y),(z))=((3),(text(-)1),(2))+q((2),(text(-)2),(1))`
en
`V: x - 2y + 2z = 4`

a

Bereken de coördinaten van het snijpunt van $l$ en $V$ .

b

Bereken de hoek tussen $l$ en $V$ .

c

Bereken de afstand van $A$ tot $V$ .

d

Bereken de afstand tussen $l$ en $m$ .

e

Bereken de snijlijn van $V$ en het vlak $W$ door $l$ en evenwijdig aan $m$ .

f

Op $m$ ligt een punt $P$ zo, dat `vec(AP)` // $V$ . Bereken de coördinaten van $P$ .

Opgave 8

Gegeven is het viervlak $C . O A B$ met $A (6, 0, 0), B (0, 6, 0)$ en $C (0, 0, 6)$ . Punt $N$ is het midden van $A B$ en $M$ dat van $O A$ . Punt $Z$ is het zwaartepunt van $Δ A B C$ .

a

Geef vectorvoorstellingen van de lijnen $C N$ en $O Z$ .

b

Vlak $B C M$ snijdt $O Z$ in punt $S$ . Bereken de coördinaten van $S$ .

c

Toon aan dat het punt $S$ de lijn $O Z$ zo verdeelt dat $O S : S Z = 3 : 1$ .

d

Bereken de afstand van punt $A$ tot vlak $B C M$ .

Opgave 9

Een kubus $O A B C . D E F G$ heeft ribben van $6$ cm. Punt $M$ is het midden van ribbe $B F$ . Voor de volgende berekeningen kun je de kubus in een cartesisch assenstelsel $O x y z$ plaatsen.

a

Bereken de afstand van punt $E$ tot vlak $A M D$ .

b

Teken de snijlijn van een vlak $V$ door $A E$ en loodrecht op vlak $A M D$ met het vlak $A M D$ .

c

Bereken de afstand tussen de lijnen $B E$ en $A G$ .

d

Bereken de afstand van het midden van ribbe $C G$ tot lijn $A G$ .

Opgave 10

Van een regelmatige vierzijdige piramide $T . A B C D$ is het snijpunt van $A C$ en $B D$ de oorsprong van een cartesisch $O x y z$ -assenstelsel. Verder is $A (4, -4, 0), B (4, 4, 0)$ en $T (0, 0, 12)$ . $P$ ligt op $A B$ zo, dat $A P : P B = 1 : 3$ . $V$ is het vlak door $P$ en evenwijdig aan vlak $B C T$ .

a

Stel een vectorvoorstelling van $V$ op.

b

Bepaal de coördinaten van het snijpunt van lijn $A T$ en vlak $V$ .

c

Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van $V$ en vlak $D C T$ .

d

Bereken de hoek die de vlakken $A D T$ en $V$ met elkaar maken in graden nauwkeurig.

e

Bereken de afstand tussen de vlakken $V$ en $B C T$ .

Opgave 11

Gegeven is de balk $O A B C . D E F G$ met $A (4, 0, 0), C (0, 8, 0)$ en $D (0, 0, 4)$ . Punt $P$ is het midden van ribbe $E F$ .

a

Bereken de afstand van punt $P$ tot vlak $A G C$ .

b

Bereken de afstand van punt $P$ tot lijn $G B$ .

c

Op ribbe $E F$ ligt een punt $M$ zo, dat de afstand van $M$ tot vlak $A G C$ $2$ is. Bereken de coördinaten van $M$ .

d

Bestaat er een punt $N$ op ribbe $E F$ zo, dat de afstand van dit punt tot lijn $G B$ $2$ is? Verklaar je antwoord.

Opgave 12

Gegeven zijn de punten $A (-6, 24, 7), B (-10, 23, 4), C (-6, 20, -5)$ en $D (1, 23, 4)$ . Het vlak $V$ heeft vergelijking $4 x + y + 6 z = 2$ . Vierkant $A B C D$ is grondvlak van een piramide $T . A B C D$ waarvan de top $T$ in vlak $V$ en op de middelloodlijn van $A C$ loodrecht op vlak $A B C D$ ligt.

Bereken de hoogte van deze regelmatige vierzijdige piramide en bereken de lengte van ribbe $A T$ .

Opgave 13

Een regelmatige vierzijdige piramide $T . O A B C$ heeft een grondvlak van $4$ $c m$ bij $4$ $c m$ en een hoogte van $5$ $c m$ en staat in een cartesisch $O x y z$ -assenstelsel. Punt $A$ is het punt $(4, 0, 0)$ . Op de $z$ -as is een lichtbron opgehangen in het punt $L (0, 0, 8)$ . De piramide is ondoorzichtig.

a

Bereken de oppervlakte van de schaduw die deze lichtbron op het $O x y$ -vlak maakt van de piramide.

b

Bereken de afstand van $L$ tot ribbe $O T$ in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 14

De hoek tussen twee kruisende lijnen $l$ en $m$ is `60` °. De loodrechte snijlijn van $l$ en $m$ snijdt $l$ in $A$ en $m$ in $B$ . Op $l$ ligt punt $P$ zo, dat $A P = 2$ . Op $m$ ligt punt $Q$ zo, dat $B Q = 4$ en $P Q = 6$ .

Bereken de lengte van lijnstuk $A B$ (twee mogelijkheden!) en de afstand van $A B$ tot $P Q$ .

Verwerken