Vectormeetkunde

Vectormeetkunde > Onderlinge ligging

1234567Onderlinge ligging

Voorbeeld 1

Hier zie je lijn `l` door de punten `A(3, 0, 2)` en `B(0, 2, 0)` .
Verder zie je punt `P(2; 1; 1,5)` .
Onderzoek of `P` op lijn `AB` ligt en zo nee, bereken de afstand van `P` tot `l` .

> antwoord

`AB` : $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})$
Ligt `P` op `AB` , dan is er een waarde van `t` waarvoor `(2; 1; 1,5) =(3t, 2 - 2t, 2t)` . Ga zelf na dat zo'n waarde van `t` niet bestaat.

De afstand van `P` tot lijn `AB` is de kortste lengte van de vector $\vec{P Q}$ als `Q =(3t, 2 - 2t, 2t)` .
| $\vec{P Q}$ | = $\sqrt{{(3 t - 2)}^{2} + {(1 - 2 t)}^{2} + {(2 t - 1,5)}^{2}}$ .
Deze lengte is minimaal als de uitdrukking onder het wortelteken minimaal is, dus als `17t^2 - 22t + 7,25` minimaal is. Ga na dat dit het geval is als `t=11/17` en bereken dan de gevraagde afstand.

Opgave 4

In Voorbeeld 1 zie je hoe je de (kortste) afstand van een punt tot een lijn kunt berekenen.

Loop de berekening na en bereken de gevraagde afstand in twee decimalen nauwkeurig.

Bereken zelf de afstand van $A$ tot de lijn $B P$ .

Waarom kun je de afstand van een punt tot een lijn niet op dezelfde wijze berekenen als van een punt tot een vlak?

verder | terug