Vectormeetkunde

Vectormeetkunde > Onderlinge ligging

1234567Onderlinge ligging

Voorbeeld 3

`T.ABCD` is een regelmatige vierzijdige piramide met `A(2, text(-)2, 0)` , `B(2, 2, 0)` en `T(0, 0, 2)` .
Bereken de hoek die lijn `CT` maakt met vlak `ABT` .
Bereken ook de hoek die de vlakken `ABT` en `BCT` met elkaar maken.

> antwoord

`CT` : $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$ en `ABT` : `x + z = 2` .

Om de hoek die `CT` maakt met `ABT` te bepalen, bereken je eerst de hoek `varphi` tussen een richtingsvector van de lijn en een normaalvector van het vlak met behulp van het inproduct:
`((1),(text(-)1),(1))*((1),(0),(1)) = 2 = 3*2*cos(varphi)` geeft `varphi~~35°` .
De hoek tussen lijn `CT` en vlak `ABT` is daarom `90°-35°=55°` .

De hoek tussen de vlakken `ABT` en `BCT` is de hoek tussen beide normaalvectoren van die vlakken. Ga zelf na, dat de hoek tussen beide vlakken `60°` is. (De normaalvectoren van beide vlakken kun je uit de figuur aflezen.)

Opgave 6

Omdat de hoek tussen een lijn en een vlak, of die tussen twee vlakken, vaak lastig te zien is in een figuur wordt in Voorbeeld 3 getoond hoe je ze met behulp van de normaalvectoren van het vlak kunt berekenen.

Loop de berekening van de hoek tussen $C T$ en vlak $A B T$ na. Kun je die hoek ook in de figuur aangeven? Hoe dan?

Laat met een berekening zien, dat de hoek tussen de vlakken $A B T$ en $B C T$ inderdaad 30° is. Waar zit die hoek in de figuur?

Het is nuttig als je in "eenvoudige" gevallen zelf de gevraagde hoek kunt zien. Welke hoek is de hoek tussen $C T$ en vlak $A B C D$ ? Hoe groot is die hoek?

Welke hoek is de hoek tussen de vlakken $A B T$ en $A B C D$ ? Hoe groot is die hoek?

verder | terug