Vectormeetkunde

Vectormeetkunde > Onderlinge ligging

1234567Onderlinge ligging

Uitleg

Hier zie je vlak `ABC` en lijn `AD` . Ook de normaal van het vlak in punt `A` is getekend. Lijn en vlak snijden elkaar in punt `A` , maar onder welke hoek? Ook nu is het naar de goede stand draaien van de figuur belangrijk. Je moet precies langs het vlak kijken. Maar zelfs dan zijn er nog meerdere hoeken mogelijk. Je moet namelijk ook loodrecht op het vlak door de lijn `AD` en de normaal kijken...

De hoek die de lijn `AD` en vlak `ABC` met elkaar maken is nu goed te zien.
Deze hoek is samen met de hoek tussen lijn `AD` en de normaal precies `90°` .
Je berekent de hoek tussen lijn `AD` en vlak `ABC` door de hoek `varphi` tussen de richtingsvector van de lijn en de normaalvector van het vlak te berekenen.
De gevraagde hoek is dan `90 - varphi` .

Zo kun je ook inzien dat de hoek tussen twee vlakken gelijk is aan de hoek tussen de normaalvectoren van die twee vlakken. Vectorrekening blijkt nu heel erg handig te zijn. Want om die hoeken in een figuur te herkennen is vaak nog een hele klus.

Opgave 2

In de Uitleg 2 zie je dat de hoek tussen een lijn en een vlak wordt berekend door de hoek tussen de normaalvector van het vlak en de richtingsvector van de lijn te berekenen.

De hoek tussen een lijn en een vlak wordt wel gedefinieerd als de hoek tussen de lijn en zijn loodrechte projectie op het vlak. Komt deze definitie overeen met de hoek die in de Uitleg 2 wordt berekend?

Bereken de normaalvector van het vlak $A B C$ met $A (3, 0, 0), B (0, 3, 0)$ en $C (0, 0, 3)$ . Bepaal ook een richtingsvector van lijn $A D$ met `D(0; 0; 3,5)` .

Bereken nu zelf de hoek tussen vlak $A B C$ en lijn $A D$ in graden nauwkeurig.

Opgave 3

Gegeven zijn de punten $P (5, 0, 0), Q (0, 5, 0), R (0, 0, 5)$ en $S (10, 4, -5)$ en het vlak $V : 2 x + 3 y + 4 z = 12$ .

Welke van deze punten ligt in $V$ ?

Bereken de kortste onderlinge afstand van de lijnen $P Q$ en $R S$ .

Bereken de hoek die de lijnen $P Q$ en $R S$ met elkaar maken.

Bereken het snijpunt van lijn $P Q$ met vlak $V$ .

Bereken de hoek waaronder lijn $P Q$ het vlak $V$ snijdt.

verder | terug