Doen.

$E(-3,9,0)$ op `CB: ((x),(y),(z))=((-3),(0),(0))+p((0),(1),(0))` klopt voor $p=9$.

`EF: ((x),(y),(z))=((1),(-1),(4))+t((2),(-5),(2))` en $TAB:2y+z=6$ hebben snijpunt $(0;1,5;3)$.

$4\sqrt{\left(2\right)}$

$V:2x+2y+3z=12$ en $G=(-1,1,4)$

Inproduct van `vec(CT)=((3),(3),(6))` en `vec(OH)=((3),(h),(0))` geeft $9+3h=\sqrt{\left(54\right)}\cdot \sqrt{(9+h^2)}\cdot \frac{2}{\sqrt{\left(15\right)}}$. Dit levert op $h=1$, dus $H=(3,1,0)$.

$B(14,-2,0),E(6,-8,10),F(14,-2,10)$ en $G(8,6,10)$ zijn de andere hoekpunten

`AG: ((x),(y),(z))=((6),(-8),(0))+t((2),(14),(10))` en $OBFD:x+7y=0$. Lijn door $P(6+2t,-8+14t,10t)$ en loodrecht op $OBFD$ snijden met $OBFD$. Snijpunt uitdrukken in $t$ en dan de gevraagde afstand uitdrukken in $t$. Die afstand is berekend, dus $t$ uitrekenen: $t=0,3\vee t=0,7$. Gevraagde punten zijn $(6,6;-3,8;3)$ en $(7,4;1,8;7)$.

Vlak $V$ door $P(0,0,15),M(6,-8,5)$ en $N(8,6,5)$ is: $7x-y+5z=75$. $V$ snijden met $DE$ geeft snijpunt $(3,-4,10)$. $V$ snijden met $AB$ geeft snijpunt $(10,-5,0)$. $V$ snijden met $BC$ geeft snijpunt $(11,2,0)$. $V$ snijden met $AB$ geeft snijpunt $(4,3,10)$.

Inproduct nemen van de normaalvectoren van beide vlakken. De gevraagde hoek is ongeveer `55` °.

De rechthoek heeft een lengte (hoogte) van `10` . Dus moet de breedte $1$ zijn: $\frac{3}{4}p+\frac{4}{3}p=1$. Dit geeft $p=\frac{12}{25}$.

Inproduct van beide normaalvectoren is `0` .

Vlak $V$ door $BT$ en evenwijdig met $AC$ is $3x-4z=24$. De afstand van $C$ (een punt van $AC$) tot dit vlak berekenen. De gevraagde afstand is `4,8` .

$BCT:3x+2y+2z=6$. Dan hoek tussen normaalvector van $BCT$ en richtingsvector van $AB$ berekenen. De gevraagde hoek is ongeveer `47` °.

Ook bij a kun je goed gebruik maken van het assenstelsel dat in de opgave is beschreven. Het inproduct van de richtingsvectoren van $BF$ en $DP$ is 0.

$K(4-4t,-3t,3t)$ en dan uit $\left|\overrightarrow{\left(KF\right)}\right|=\left|\overrightarrow{\left(KB\right)}\right|$ de waarde van $t$ vinden: $t=0,5$ Dit geeft $K=(2;-1,5;1,5)$

Laat zien dat `|vec(KD)|=|vec(KB)|` .

$L(0,3-s,s)$ en vlak $AQMC$ is $3x-4y=12$. Lijn door $L$ en loodrecht op $AQMC$ snijden met $AQMC$ geeft: $d(L,AQMC)=48-8s$. Dit is de hoogte van de piramide. De oppervlakte van vierkant $AQMC$ is $7.5+2.5s$. De inhoud van $L.AQMC$ is $I=\frac{1}{3}(7,5+2,5s)(48-8s)$. Deze parabool heeft een top als $s=1,5$. En max.$I\left(\mathrm{1,5}\right)=135$.

Doen.

`vec(MN)=((0),(0),(6))` en `vec(MF)=((-9),(3),(-3))` . Het inproduct geeft de gevraagde hoek: $\approx \mathrm{72,5}$°.

$H(0,6,0)$ is midden van $EG$. Punt $P$ is het snijpunt van $AH$ en $GN$. Dit geeft $P(2,4,0)$ en $CP=\sqrt{\left(80\right)}$.

$Q(0,2,6)$ en $R(0,2,-6)$

$Opp\left(MNQCR\right)=21\sqrt{\left(10\right)}$

De hoek tussen twee van dergelijke vlakken is ongeveer `109,5` °. Dit kan met vectorrekening, dan eerst een assenstelsel invoeren.

`60` ° en `90` °.

$P$ op $OT$, $Q$ op $AT$ en $R$ op $CT$.

Doen.

Van de vlakken $PQR$, $OAT$ en $OABC$ gaan de snijlijnen door één punt $K$. $K$ is het snijpunt van $PQ$ en $OA$ (de $x$-as). Van de vlakken $PQR$, $OCT$ en $OABC$ gaan de snijlijnen door één punt $L$. $L$ is het snijpunt van $PR$ en $OC$ (de $y$-as). $KL$ is nu de snijlijn van $PQR$ met het grondvlak $OABC$.

$PQR:12x+8y+7z=96$ en $OABC:z=0$. Snijlijn gaat door het snijpunt van $PQR$, $OABC$ en de $x$-as: $K(8,0,0)$. Snijlijn gaat door het snijpunt van $PQR$, $OABC$ en de $y$-as: $L(0,12,0)$.

Doen.

Doen.

`vec(PQ)=((3),(-3),(-3))` en `vec(PR)=((-2),(1),(-4))` dus `vec(PQ) xx vec(PR)=((15),(6),(-3))` en $V:15x+6x-3z=33$

$E(3,-3,3\sqrt{\left(3\right)}),F(3,3,3\sqrt{\left(3\right)}),G(-3,3,3\sqrt{\left(3\right)}),H(-3,-3,3\sqrt{\left(3\right)})$ en $T(0,0,3\sqrt{\left(3\right)}+3\sqrt{\left(2\right)})$

De normaalvectoren hebben verschillende richtingen. De gevraagde hoek is ongeveer `5,3` °.

$BF$ en $GT$ hebben geen snijpunt. Een vlak door BF en evenwijdig $GT$ is $(\sqrt{3}-\sqrt{2})x+\sqrt{3}y+z=9\sqrt{3}-3\sqrt{2}$. Bereken nu de afstand van $T$ tot dit vlak. Je vindt voor de gevraagde afstand: $d(BF,GT)=\frac{\left(6\sqrt{3}-6\sqrt{2}\right)}{\sqrt{\left(8-2\sqrt{6}\right)}}$.

Ongeveer `71,4` °.

$ECT:(\sqrt{3}+3\sqrt{2})x+(\sqrt{3}+4\sqrt{2})y+z=3\sqrt{3}+15\sqrt{2}$. Dit vlak snijdt $AB$ en $HG$.

$B(6,6,-6\sqrt{\left(2\right)}),D(6,6,6\sqrt{\left(2\right)})$. De doorsnee wordt een vijfhoek $KLMNP$ met (bijvoorbeeld) $K(12,8,0),L(8,8,-4\sqrt{\left(2\right)}),M(4,8,-4\sqrt{\left(2\right)}),N(4,8,4\sqrt{\left(2\right)})$ en $P(8,8,4\sqrt{\left(2\right)})$.

$48\sqrt{\left(2\right)}$

$(4,8,2\frac{2}{3}\sqrt{\left(2\right)})$

$6\sqrt{\left(7\right)}$