Vectormeetkunde > TotaalbeeldToepassen
Een octaëder is een regelmatig achtvlak. Alle ribben van zo’n achtvlak zijn even lang. De figuur bestaat uit acht gelijkzijdige driehoeken.
Bereken de hoek tussen twee grensvlakken die een ribbe van het achtvlak gemeenschappelijk hebben.
Onderzoek welke mogelijke hoeken de ribben van de octaëder met elkaar kunnen maken.
Gegeven is de piramide met en . Verder zijn gegeven de punten en `R(1 1/2, 4 1/2, 6)` .
Laat zien dat de punten , en op ribben van de piramide liggen.
Teken de piramide en deze drie punten.
De drievlakkenstelling gaat over de onderlinge ligging van drie vlakken. Het is een belangrijke stelling omdat bij ruimtelijke figuren met platte grensvlakken in de hoekpunten minstens drie vlakken bij elkaar komen.
Als van drie vlakken er geen twee evenwijdig zijn, hebben ze drie snijlijnen. Die drie snijlijnen gaan door één punt of ze zijn evenwijdig.
Zijn precies twee van de drie vlakken evenwijdig, dan hebben de drie vlakken twee evenwijdige snijlijnen. Zijn alle drie de vlakken evenwijdig, dan zijn er geen snijlijnen.
Bij constructies van doorsnedes wordt deze drie vlakken stelling veel gebruikt.
Vlak snijdt ook het grondvlak van de piramide. Leg uit hoe je met behulp van de drie vlakken stelling de snijlijn van en kunt tekenen.
Je kunt deze snijlijn ook berekenen. Gebruik de vergelijkingen van de vlakken en om een vectorvoorstelling van de snijlijn van beide te vinden. Ga na, dat je dezelfde lijn krijgt als bij c.
Teken de complete doorsnede van vlak met de piramide (dus alle snijlijnen met de grensvlakken).
Een normaalvector van een vlak kun je berekenen door gebruik te maken van het uitwendig product van beide richtingsvectoren. Het uitwendig product (of uitproduct) van twee vectoren stelt je in staat om snel een normaalvector van een vlak te berekenen.
Het uitproduct van twee vectoren `vec(a)=((a_x),(a_y),(a_z))` en `vec(b)=((b_x),(b_y),(b_z))` is `vec(a)xxvec(b)=((a_y b_z - a_z b_y),(a_z b_x - a_x b_z),(a_x b_y - a_y b_x))` .
Met behulp van het inproduct kun je nagaan dat de vector `vec(a)xxvec(b)` loodrecht op zowel `vec(a)` als `vec(b)` staat. Het uitproduct is dus een normaalvector van twee gegeven vectoren. Zo kun je het uitproduct van twee richtingsvectoren gebruiken om de normaalvector van een vlak te vinden.
Laat met behulp van het inproduct zien, dat het uitproduct `vec(a) xx vec(b)` van twee vectoren en een vector is die inderdaad loodrecht op zowel als staat.
Vlak gaat door de punten en . Stel met behulp van het uitproduct een vergelijking van dit vlak op.
Misschien ken je Polydron wel, bouwmateriaal voor ruimtelijke figuren bestaande uit aan elkaar te klikken vierkanten, driehoeken, vijfhoeken, etc. Hier zie je een vierkant en een gelijkzijdige driehoek van Polydron. Met van deze vierkanten en van deze gelijkzijdige driehoeken maak je de figuur hieronder. Hij is in een assenstelsel geplaatst waardoor de hoekpunten van grondvlak (dat uit twee vierkanten bestaat) de coördinaten en hebben.
Bepaal nu zelf de coördinaten van de hoekpunten , , , en .
Toon aan dat vierkant en driehoek niet in één vlak liggen en bereken de hoek die ze met elkaar maken.
Onderzoek of de lijnen en elkaar snijden. Snijden ze elkaar niet, bereken dan hun kortste onderlinge afstand.
Bereken de hoek die de lijnen en met elkaar maken.
Het vlak door , en snijdt nog meer ribben van de figuur. Welke ribben?