Vectormeetkunde

Vectormeetkunde > Totaalbeeld

1234567Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide $T . A B C D$ door $T (0, 0, 6), A (3, 3, 0), B (-3, 3, 0), C (-3, -3, 0)$ en $D (3, -3,$ 0). Verder zijn gegeven de punten $E (-3, 9, 0)$ en $F (1, -1, 4)$ .

Teken deze piramide (of construeer hem in GeoGebra).

Toon aan, dat $E$ op het verlengde van $C B$ ligt.

Bereken de coördinaten van het snijpunt van lijn $E F$ en vlak $T A B$ .

Bereken de lengte van de loodrechte projectie van lijnstuk $B F$ op vlak $A B C D$ .

Vlak $V$ gaat door $A$ en $F$ en is evenwijdig aan $B D$ . $V$ snijdt ribbe $B T$ in punt $G$ .

Bereken de coördinaten van $G$ .

Op ribbe $A D$ ligt een punt $H$ zo, dat de cosinus van de hoek tussen $O H$ en $C T$ gelijk is aan $\frac{2}{\sqrt{15}}$ .

Bereken de coördinaten van $H$ .

Opgave 2

Kubus $O A B C . D E F G$ is in een cartesisch $O x y z$ -assenstelsel gegeven door de punten $A (6, -8, 0), C (8, 6, 0)$ en $D (0, 0, 10)$ . $S$ is het snijpunt van $A C$ en $O B$ . $P$ is het punt $(0, 0, 15)$ .

Teken de kubus.

Bereken de coördinaten van de punten op lijn $A G$ die een afstand van $\sqrt{(8)}$ hebben tot het diagonaalvlak $O B F D$ .

$M$ is het midden van $A E$ en $N$ dat van $C G$ . Het vlak $V$ gaat door $P$ , $M$ en $N$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van dit vlak met de ribben van de kubus. Teken nu het deel van dit vlak dat binnen de kubus ligt.

Bereken de hoek die dit vlak maakt met het grondvlak $O A B C$ van de kubus.

Het vlak met vergelijking $x = p$ , met $0 \leq p \leq 6$ , snijdt de kubus volgens een rechthoek met een oppervlakte van `10` . Bereken $p$ .

Opgave 3

Een driezijdige piramide $T . A B C$ is gegeven door $A (0, -3, 0), B (4, -3, 0), C (0, 3, 0)$ en $T (0, 0, 3)$ .

Bewijs dat de vlakken $A B T$ en $A C T$ loodrecht op elkaar staan.

Bereken de afstand tussen de lijnen $B T$ en $A C$ .

Bereken de hoek die vlak $B C T$ maakt met lijn $A B$ .

Opgave 4

In dit rechte driezijdige prisma

A B C . D E F

geldt:

A C = A B = 5

A D = B C = 6

. Punt

P

is het midden van

C F

en punt

Q

is het midden van

A D

Toon aan dat de lijnen $B F$ en $D P$ elkaar loodrecht kruisen.

Kies een cartesisch coördinatenstelsel $O x y z$ zo, dat $O$ het midden van $B C$ is, punt $A$ op de $x$ -as ligt en $B$ en $C$ op de $y$ -as liggen. (De eenheden op de assen passen bij de gegeven lengtes.)

Bepaal de coördinaten van het punt $K$ op lijn $A P$ zo, dat $K F = K B$ .

Toon aan dat driehoek $B D K$ een gelijkbenige driehoek is.

Op diagonaal $B F$ ligt een punt $L$ . Door $L$ gaat een rechte lijn evenwijdig aan de $y$ -as. Deze lijn snijdt $C F$ in punt $M$ . $L$ doorloopt de lijn $B F$ .

Bereken de maximale inhoud van piramide $L . A Q M C$ .

Opgave 5

Een afgeknotte balk $A B C D . E F G$ is in een cartesisch $O x y z$ -assenstelsel gegeven door $A (6, 0, 0), B (0, 0, -6), C (-6, 0, 0), D (0, 0, 6), E (0, 6, -6), F (-6, 6, 0)$ en $G (0, 6, 6)$ .

Teken deze afgeknotte balk.

Punt $M$ is het midden van $A G$ en punt $N$ is het midden van $A E$ .

Bereken de hoek die de lijnen $M N$ en $M F$ met elkaar maken.

Een lijn door $C$ snijdt de lijn $A F$ en de lijn $G N$ . Het snijpunt met $G N$ is punt $P$ .

Bereken de lengte van $C P$ .

Het vlak door de punten $C$ , $M$ en $N$ snijdt ribbe $D G$ in $Q$ en ribbe $B E$ in $R$ .

Bereken de coördinaten van $Q$ en $R$ .

Bereken de oppervlakte van vijfhoek $M N Q C R$ .

verder | terug