Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Parabolen

1234567Parabolen

Voorbeeld 1

Stel een vergelijking en een parametervoorstelling op van de parabool met top $T (2, 1)$ en richtlijn $y = - 2$ .

> antwoord

Omdat de richtlijn evenwijdig is aan de `x` -as, is de as van de parabool evenwijdig aan de `y` -as.
Wanneer de top $(0, 0)$ zou zijn, was de vergelijking van de vorm: $x^{2} = 2 p y$ .
De top van de parabool ligt `3` eenheden boven de richtlijn, dus $p = 6$ .

Omdat de top van de parabool (en dus ook de parabool zelf) van $(0, 0)$ is verschoven naar $(2, 1)$ is de vergelijking ${(x - 2)}^{2} = 12 (y - 1)$ .

Om een parametervoorstelling te maken, kies je (bijvoorbeeld): $x = t + 2$ .
Dan wordt de vergelijking $t^{2} = 12 (y - 1)$ , zodat $y = \frac{1}{12} t^{2} + 1$ .

De parametervoorstelling wordt: $x = t + 2$ en $y = \frac{1}{12} t^{2} + 1$ .

Opgave 5

In de Theorie wordt verteld dat $y^{2} = 2 p x$ de vergelijking van een parabool met richtlijn $x = - 0,5 p$ en brandpunt $F (0,5 p; 0)$ is.

Je verschuift de top $(0, 0)$ van deze parabool naar $(a, 0)$ . Hoe ziet de vergelijking er dan uit?

Je verschuift de top $(0, 0)$ van deze parabool naar $(0, b)$ . Hoe ziet de vergelijking er dan uit?

Schrijf een vergelijking op van de parabool met brandpunt $F (4, 6)$ en richtlijn $x = 3$ .

Maak bij de parabool in $c$ ook een parametervoorstelling.

Opgave 6

Stel een vergelijking en een parametervoorstelling op van de parabool $p$ met richtlijn $y = 1$ en brandpunt $F (2, 5)$ .
Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1.

Opgave 7

In de Theorie gaat het over het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een parabool. Neem nu de parabool gegeven door $y^{2} = 6 x + 6$ .

Bereken de punten op de parabool met $x = 5$ .

Maak een parametervoorstelling bij deze parabool.

Bereken in beide punten die je bij a hebt gevonden de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt.

Stel van beide raaklijnen bedoeld in c de vergelijking op.

In de Theorie staat ook dat je de raaklijn aan een parabool op een andere manier kunt berekenen, namelijk met behulp van de discriminant van een kwadratische vergelijking.

Neem het punt $P (0,5; 3)$ op de parabool. Stel een vergelijking op van de lijn door $P$ met richtingscoëfficiënt $a$ .

Snijd deze lijn met de parabool en bereken vervolgens $a$ zo, dat beide snijpunten samenvallen.

Welke vergelijking heeft de raaklijn in $P$ aan de parabool?

verder | terug