Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Ellipsen en hyperbolen

1234567Ellipsen en hyperbolen

Uitleg

Bekijk de applet

De ellips en de hyperbool zijn krommen die bestaan uit punten `P` die een even grote afstand hebben tot een vast punt `F` als tot een vaste cirkel `c` . Dit vaste punt `F` heet het brandpunt (of focus), de vaste cirkel heet de richtcirkel. De ellips ontstaat als `F` binnen de cirkel ligt, de hyperbool als `F` er buiten ligt.

Voor de ellips hiernaast kun je afleiden dat $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$

Voor de hyperbool kun je afleiden dat $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Je kunt er ook parametervoorstellingen bij maken. Verder zijn ook deze krommen symmetrisch, zo lijkt het. Maar hoe toon je die symmetrie aan?

Opgave 2

Bekijk de Uitleg 1. Bekijk goed hoe de ellips $e$ wordt geconstrueerd door punt $Q$ over de cirkel te bewegen. Uitgangspunt is dat steeds $| F P | = | P Q |$ .

Leg uit waarom dit betekent dat $| M P | + | P F | = 8$ .

Neem nu $P (x, y)$ als punt van de ellips. Welke vergelijking in $x$ en $y$ volgt nu uit $| M P | + | P F | = 8$ ?

Laat zien dat je die vergelijking kunt schrijven als $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ .

Hoe kan het getal $16$ worden afgeleid uit de straal van de richtcirkel?

Hoe kan het getal $7$ worden afgeleid uit de straal van de richtcirkel en de afstand van $F$ tot de oorsprong $O (0, 0)$ , het centrum van de ellips?

De ellips heeft een horizontale as die even lang is als de straal van de richtcirkel. Hoe lang is de verticale as?

Opgave 3

Bekijk de ellips uit de voorgaande opgave nog eens.

Toon aan dat elk punt $A$ met $x = 4 cos (t)$ en $y = \sqrt{(7)} sin (t)$ (met $t$ in radialen) op deze ellips ligt.

Hiermee heb je een geschikte parametervoorstelling voor de ellips gevonden.

Bereken met behulp van die parametervoorstelling de punten op de ellips waar de raaklijn horizontaal is en waar de raaklijn verticaal is.

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de ellips in het punt $P$ met $x$ -coördinaat $2$ en een positieve $y$ -coördinaat.

Het centrum van de ellips $e$ is $(0, 0)$ . Je verschuift de ellips tot het centrum $(3, 2)$ is. Er ontstaat een nieuwe ellips $e_{2}$ .

Stel een parametervoorstelling op van $e_{2}$ .

Stel een vergelijking op van $e_{2}$ .

Bereken van deze nieuwe ellips de exacte snijpunten met de coördinaatassen.

Opgave 4

Bekijk de Uitleg 1. Zet de straal van de richtcirkel op $4$ en bekijk de constructie van de hyperbool.

Leg uit waarom nu geldt $| M P | - | P F | = 4$ .

Neem nu $P (x, y)$ als punt van de hyperbool. Welke vergelijking in $x$ en $y$ volgt nu uit $| M P | - | P F | = 4$ ?

Laat zien dat je die vergelijking kunt schrijven als $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ .

Hoe kan het getal $4$ worden afgeleid uit de straal van de richtcirkel?

Hoe kan het getal $5$ worden afgeleid uit de straal van de richtcirkel en de afstand van $F$ tot de oorsprong $O (0, 0)$ , het centrum van de hyperbool?

De hyperbool heeft een tweede tak die niet wordt getekend. Wanneer je echter in plaats van de halve lijn $M P$ de lijn $M P$ tekent, dan wordt ook die tweede tak gemaakt door de applet. Je kunt dat zien in de applet in de Theorie .

Leg uit dat voor die tweede tak wel geldt: `|FP| = |PQ|` maar niet dat de afstand van $P$ tot $F$ gelijk is aan de afstand van $P$ tot de cirkel.

Opgave 5

Bekijk de hyperbool uit de voorgaande opgave nog eens.

Toon aan dat elk punt $A$ met $x = \frac{2}{cos (t)}$ en $y = \sqrt{5} \cdot \frac{sin (t)}{cos (t)}$ (met $t$ in radialen) op deze hyperbool ligt.

Hiermee heb je een geschikte parametervoorstelling voor de hyperbool gevonden.

Bereken met behulp van die parametervoorstelling de punten op de hyperbool waar de raaklijn verticaal is.

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de hyperbool in het punt $P$ met $x$ -coördinaat $3$ en een positieve $y$ -coördinaat.

Het centrum van de hyperbool $h$ is $(0, 0)$ . Je verschuift de ellips tot het centrum $(3, 2)$ is. Er ontstaat een nieuwe ellips $h_{2}$ .

Stel een vergelijking op van $h_{2}$ .

Bereken van deze nieuwe hyperbool de exacte snijpunten met de coördinaatassen.

verder | terug