Vul de coördinaten in.
Nee
Eigen antwoord.
`z=0`
Een lijn is een snijlijn van twee vlakken. Je hebt er daarom twee vergelijkingen in `x` , `y` en `z` voor nodig.
Een vlak waarin `z` elke waarde kan aannemen, onafhankelijk van de waarden van `x` en `y` . Je krijgt dus een vlak evenwijdig aan de `z` -as.
`M(3, 1, 0)` invullen in `x+3y+3z=6` geeft `3+3=6` , dit klopt.
`MCDN: ((x), (y), (z)) = ((0),(2),(0)) + u*((3), (text(-)1), (0)) + v*((0), (text(-)2), (2))`
Voor elk punt
`Q`
in het vlak
`EFC`
geldt:
`vec(OQ)=vec(OE)+r*vec(EF)+s*vec(EC)`
.
Dus
`EFC: ((x),(y),(z))=((3),(0),(2))+r((0),(2),(0))+s((text(-)3),(2),(text(-)2))`
Een punt
`Q(x, y, z)`
in het vlak is te schrijven als
`(3-3s, 2r+2s, 2-2s)`
.
Uit
`x=3-3s`
volgt dat
`s=1-1/3x`
en vul je dit in bij
`z=2-2s`
dan krijg je
`z=2-2(1-1/3x)=1/3x`
, ofwel
`EFC: 2x-3z=0`
.
`(x,y,z)=(3 p, 0 , 2 -p)` invullen in `x+3 z=6` geeft `6 =6` (en dit klopt voor elke `p` ).
Of `x=3p` geeft `p=1/3x` . Vult dit in `z=2-p` in, dit geeft `z=2-1/3x` en dus ook `x+3z=6` .
Bijvoorbeeld `(3, 1, 1)` en `(6, 1, 0)`
Bijvoorbeeld `y=0` .
`((1), (3), (3))*((3), (0), (text(-)1))=0` en `((1), (3), (3))*((0), (2), (text(-)2))=0` , dus het klopt.
`3a-c=0`
en
`2b-2c=0`
.
De vergelijking ziet er uit als
`x+3y+3z=d`
.
Je weet ook dat punt
`C(0, 2, 0)`
in het vlak ligt, dus hieruit volgt dat
`d=6`
.
Dus
`MCDN: x+3y+3z=6`
.
`EFC: ((x),(y),(z))=((3),(2),(2))+q((0),(1),(0))+r((text(-)3),(0),(text(-)2))`
Zoek een normaalvector
`vec(n)=((a), (b), (c))`
van het vlak
`EFC`
die loodrecht staat op
`((0),(1),(0))`
en op
`((text(-)3),(0),(text(-)2))`
. Dus, omdat het inproduct
`0`
moet zijn, geldt:
`b=0`
en
`text(-)3a=text(-)2c`
.
Neem bijvoorbeeld
`vec(n)=((2), (0), (text(-)3))`
.
Dus
`EFC: 2x-3z=d`
.
Je weet dat het punt
`E`
in het vlak ligt, dus door deze coördinaten in te vullen zie je dat
`d=0`
.
Dus `EFC: 2x-3z=0` .
`l: ((x), (y), (z))=((0), (0), (0))+p((1), (3), (3))`
Een punt van lijn `l` is te schrijven als `S(p, 3p, 3p)` en ligt in het vlak `MCDN` als er voldaan is aan de vergelijking `x+3y+3z=6` .
Door in te vullen vind je
`p+9p+9p=6`
, ofwel
`p=6/19`
.
Vul dit in bij punt
`S`
in, dan vind je
`S(6/19, 18/19, 18/19)`
.
`text(d)(O,MCDN)=|OS|=sqrt((6/19)^2+(18/19)^2+(18/19)^2)=6/19sqrt(19)~~1,38`
Stel eerst een vectorvoorstelling op van lijn `m` door `B` loodrecht op het vlak:
`m: ((x), (y), (z))=((3), (2), (0))+p((1), (3), (3))`
Bepaal vervolgens het snijpunt `S` van lijn `m` met het vlak.
Een punt op `m` is te schrijven als `(3+p, 2+3p, 3p)` en ligt in het vlak `MCDN` als er voldaan is aan de vergelijking `x+3y+3z=6` .
Door in te vullen vind je: `3+p+3(2+3p)+3(3p)=6` en `p=text(-)3/19` .
Je vindt `S(54/19, 29/19, text(-)9/19)` .
`text(d)(B, MCDN)=|BS|=sqrt((54/19-3)^2+(29/19-2)^2+(text(-)9/19)^2)=3/19sqrt(19)~~0,69`
Het inproduct van
`vec(a) xx vec(b)`
en
`vec(a)`
is:
`(a_y b_z - a_z b_y)*a_x + (a_z b_x - a_x b_z)*a_y + (a_x b_y - a_y b_x)*a_z =`
`a_y b_z a_x - a_z b_y a_x + a_z b_x a_y - a_x b_z a_y + a_x b_y a_z - a_y b_x a_z
= 0`
.
En hetzelfde geldt voor het inproduct van `vec(a) xx vec(b)` en `vec(b)` .
`vec(PQ)=((3),(text(-)3),(text(-)3))` en `vec(PR)=((text(-)2),(1),(text(-)4))` dus `vec(PQ) xx vec(PR)=((15),(6),(text(-)3))` en `V: 15 x+6 x-3 z=33`
Laat punt
`P`
in vlak
`ANF`
liggen, dan
`ANF: vec(OP)=vec(OA)+r*vec(AN)+s*vec(AF)`
.
Dus
`ANF: ((x), (y), (z))=((4), (0), (0))+r((text(-)4), (3), (8))+s((0), (6), (8))=((4),
(0), (0))+r((text(-)4), (3), (8))+s((0), (3), (4))`
Het vlak gaat door de punten
`A`
,
`N`
en
`M`
.
`M(0, 6, 4)`
, want dat is de plaatsvector. Als je vanuit
`M`
in de richting
`((0), (text(-)3), (4))`
loopt, dan kom je uit bij punt
`N`
. En als je vanuit
`M`
in de richting
`((2), (text(-)3), (text(-)2))`
loopt, dan kom je uit bij punt
`A`
.
Neem als steunvector de vector naar een punt dat in het vlak ligt (en dus voldoet
aan de vergelijking), bijvoorbeeld
`((text(-)1), (0), (text(-)1))`
.
De twee richtingsvectoren die je nodig hebt moeten loodrecht staan op de normaalvector
van vlak
`W`
, dus op
`vec(n)=((text(-)2), (4), (text(-)3))`
.
Neem bijvoorbeeld
`rv_1=((2), (1), (0))`
en
`rv_2=((0), (3), (4))`
(dit kunnen ook twee andere zijn).
Dus een mogelijke vectorvoorstelling van vlak
`W`
is:
`((x), (y), (z))=((text(-)1), (0), (text(-)1))+p((2), (1), (0))+q((0), (3), (4))`
.
Omdat de punten
`A`
,
`B`
en
`C`
op één lijn liggen.
Dat zie je aan de vectoren
`vec(AB)=((3), (text(-)9), (text(-)3))`
en
`vec(AC)=((text(-)4), (12), (text(-)4))`
.
Deze zijn een veelvoud van elkaar (
`vec(AC)=text(-)4/3*vec(AB)`
).
Neem als plaatsvector
`vec(OA)=((text(-)1), (3), (5))`
en richtingsvectoren
`vec(AB)=((3), (text(-)9), (text(-)3))`
en
`vec(AD)=((1), (text(-)1), (text(-)7))`
.
Dus een vectorvoorstelling van
`V`
is:
`((x), (y), (z))=((text(-)1), (3), (5))+p((3), (text(-)9), (text(-)3))+q((1), (text(-)1),
(text(-)7))`
Zoek een normaalvector
`vec(n)=((a), (b), (c))`
die loodrecht staat op de twee richtingsvectoren (inproduct moet
`0`
zijn).
Dus vind waarden
`a`
,
`b`
en
`c`
zo, dat:
`3a-9b-3c=0`
en
`a-b-7c=0`
.
`a=b+7c`
geeft
`3(b+7c)-9b-3c=18c-6b=0`
.
Als je bijvoorbeeld
`b=3`
kiest, dan is
`c=1`
en
`a=10`
.
Dus vlak
`V: 10x+3y+z=d`
.
Door bijvoorbeeld punt
`A(text(-)1, 3, 5)`
in te vullen vind je dat
`d=4`
.
Dus vlak `V: 10x+3y+z=4` .
(Je kunt voor het vinden van de normaalvector van `V` ook meteen werken met het uitproduct van beide richtingsvectoren.)
Er moet gelden: `4-2r=4-4s` , `3r=6-3s` en `8-2r=8s` .
Hieruit volgt
`s=2/3`
.
Deze waarde van
`s`
invullen bij
`BN`
geeft snijpunt
`S(4/3, 4, 16/3)`
.
`3*4/3+4*4+3*16/3=36` , dit klopt.
Een punt
`P`
op
`FG`
kun je schrijven als
`(p, 6, 8)`
. Vul dit in de vergelijking van het vlak in.
Je krijgt
`3p+24+24=36`
, ofwel
`p=text(-)4`
. Dus in punt
`(text(-)4, 6, 8)`
.
Zoek een normaalvector
`vec(n)`
van vlak
`V`
.
Het uitproduct van
`vec(r_1)=((1), (text(-)5), (3))`
en
`vec(r_2)=((2), (2), (1))`
is
`vec(r_1)xxvec(r_2) = ((text(-)11),(5),(12))`
.
Dus
`V: text(-)11x+5y+12z=d`
.
Door bijvoorbeeld punt
`(text(-)1, 3, 4)`
in te vullen vind je dat
`d=74`
.
Dus
`V: text(-)11x+5y+12z=74`
Stel de vectorvoorstellingen van
`l`
en
`m`
aan elkaar gelijk.
Dit geeft:
`text(-)1+3u=2+4v`
,
`2u=3+2v`
en
`5+2u=2+6v`
.
Hieruit volgt
`v=3/2`
(en
`u=3`
).
Vul deze waarde in bij
`m`
, dan krijg je het snijpunt
`S(8, 6, 11)`
.
Controleren of
`S`
in
`V`
ligt:
`text(-)11*8+5*6+12*11=74`
, dit klopt.
Vul de coördinaten van
`P`
in de vergelijking in, je krijgt:
`text(-)22+5p+6=74`
, dit geeft
`p=18`
.
`ax+by+cz=d`
`A`
invullen geeft:
`3a+c=d`
.
`B`
invullen geeft:
`5b=d`
.
`C`
invullen geeft:
`2b+6c=d`
.
Kies bijvoorbeeld
`d=10`
. Dan is
`b=2`
,
`c=1`
en
`a=3`
.
Dus
`V: 3x+2y+z=10`
.
Vul de coördinaten van de punten `A` , `B` en `C` in en je ziet dat het klopt.
De punten
`A(text(-)2, 0, 3)`
,
`B(0, 4, 0)`
en
`C(6, 1, 0)`
invullen in
`ax+by+cz=d`
geeft achtereenvolgens:
`text(-)2a+3c=d`
,
`4b=d`
en
`6a+b=d`
.
Kies bijvoorbeeld
`b=2`
, dan
`d=8`
,
`a=1`
en
`c=10/3`
.
Dit geeft vlak
`x+2y+10/3 z=8`
. Als je nu alles met
`3`
vermenigvuldigt dan krijg je
`3x+6y+10z=24`
.
Richtingsvectoren `OBT` zijn bijvoorbeeld `vec(r_1)=((1),(1),(0))` en `vec(r_2)=((1),(0),(1))` .
`vec(n)=vec(r_1)xxvec(r_2) = ((1),(text(-)1),(text(-)1))` .
Punt `(0, 0, 0)` invullen geeft `OBT: x - y - z = 0` .
Vervolgens `(4t, 4 - 4t, 2t)` in deze vergelijking invullen en je vindt `t=2/3` en `S(8/3, 4/3, 4/3)` .
Voor het snijpunt moet gelden (stel de beide vectorvoorstellingen aan elkaar gelijk):
`4t=4p+4q`
,
`4-4t=4p`
en
`2t=4q`
.
Uit
`t=2q`
volgt dan
`p=q`
en
`4-8q=4q`
. Dus
`q=1/3`
en dus
`t=2/3`
.
Vul dit bij de vectorvoorstelling van
`CM`
in en je vindt ook
`S(8/3, 4/3, 4/3)`
.
`OM` : `((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0)) + u((4),(0),(2))`
`BCT` : `((x),(y),(z)) = ((4),(4),(0)) + v((text(-)4),(0),(0)) + w((0),(text(-)4),(4))`
Voor het snijpunt moet gelden: `4u=4-4v` , `0=4-4w` en `2u=4w` .
Hieruit volgt `w=1` , dus `u=2` . Vul dit in bij `OM` en je vindt snijpunt `S(8, 0, 4)` .
Bijvoorbeeld de `x` -as: `((x), (y), (z))= lambda((1), (0), (0))` .
Voor snijpunt moet gelden:
`lambda=4-4v`
,
`0=4-4w`
en
`0=4w`
.
Hieruit volgt `w=1` en `w=0` , dat kan niet. Dus snijden ze elkaar niet.
Je krijgt drie vergelijkingen met drie onbekenden, namelijk:
(1)
`3+2p=2q+r`
, (2)
`3-p=1+3q-r`
en (3)
`text(-)1+2p=5r`
.
Uit (3) volgt
`p=5/2r+1/2`
, dit invullen bij (1) geeft
`3+2(5/2r+1/2)=2q+r`
, ofwel
`q=2r+2`
.
Beide invullen bij (2) geeft
`3-(5/2r+1/2)=1+3(2r+2)-r`
. Hieruit volgt
`r=text(-)3/5`
, dan is
`p=text(-)1`
.
Deze waarde voor
`p`
invullen bij lijn
`l`
geeft snijpunt
`S(1, 4, text(-)3)`
.
Het uitproduct van de richtingsvectoren bepaalt de normaalvector van vlak
`V`
.
Een vergelijking van
`V`
is daarom
`text(-)3x + 2y + z = d`
.
Door punt
`(0, 1, 0)`
in te vullen vind je
`d=2`
.
Dus
`V: text(-)3x+2y+z=2`
.
Punt
`P(3+2p, 3-p, text(-)1+2p)`
van lijn
`l`
moet in vlak
`V`
liggen, dus moet er gelden:
`text(-)3(3+2p)+2(3-p)+(text(-)1+2p)=2`
, hieruit volgt dat
`p=text(-)1`
.
Deze waarde voor
`p`
weer invullen bij lijn
`l`
en ook nu vind je
`S(1, 4, text(-)3)`
.
Een vectorvoorstelling van vlak
`BCM`
is
`((x), (y), (z))=((4), (4), (0))+p((text(-)4), (0), (0))+q((0), (text(-)4), (2))`
.
Vergelijking maken van dit vlak: zoek m.b.v. het uitproduct een normaalvector
`vec(n)`
. Je vindt
`vec(n)=((0), (1), (2))`
. De vergelijking van het vlak is te schrijven als
`y+2z=d`
, je vindt
`d=4`
door bijvoorbeeld punt
`(4, 4, 0)`
in te vullen. Vlak
`BCM: y+2z=4`
.
Lijn
`l`
door
`T`
loodrecht op vlak
`BCM`
:
`((x), (y), (z)) = ((4), (0), (4)) + r((0), (1), (2))`
.
Snijd deze lijn met het vlak om het punt
`S`
te vinden dat het dichtst bij punt
`T`
ligt.
Punt van lijn
`l`
is
`(4, r, 4+2r)`
, dit invullen in vergelijking vlak geeft:
`r+8+4r=4`
, dus
`r=text(-)4/5`
.
Snijpunt
`S`
is dus
`(4, text(-)4/5, 12/5)`
.
`vec(TS)=((0), (text(-)4/5), (text(-)8/5))` , dus `text(d)(T, BCM)=|vec(TS)|=sqrt(0^2+(text(-)4/5)^2+(text(-)8/5)^2)=sqrt(80/25)=4/5sqrt(5)` .
`AB` loopt evenwijdig aan `OC` dat in vlak `OCT` ligt, dus `AB` loopt evenwijdig met vlak `OCT` .
Neem bijvoorbeeld punt
`B`
van de lijn
`AB`
en bereken de afstand van dit punt tot vlak
`OCT`
.
`OCT: ((x),(y),(z)) = q((0),(1),(0)) + r((1),(0),(1))`
Een normaalvector van
`OCT`
is
`vec(n)=((1), (0), (text(-)1))`
.
Een vergelijking van vlak
`OCT`
is dan:
`x-z=0`
.
Dus de loodlijn
`l`
door
`B`
loodrecht op vlak
`OCT`
is
`((x), (y), (z))=((4), (4), (0))+s((1), (0), (text(-)1))`
.
Snijd deze lijn met vlak
`OCT`
, dit geeft:
`4+s+s=0`
, ofwel
`s=text(-)2`
.
Deze waarde van
`s`
invullen bij
`l`
geeft snijpunt
`S(2, 4, 2)`
.
`vec(BS)=((text(-)2), (0), (2))` en dus `text(d)(B, OCT)=|vec(BS)|=sqrt((text(-)2)^2+0^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)` .
`P(8, 0, 2)` en `Q(0, 2, 4)` .
`PQ: ((x),(y),(z))=((6),(0),(2))+t((text(-)3),(1),(1))`
`ACD: ((x),(y),(z))=((6),(0),(0))+p((text(-)3),(2),(0))+q((text(-)3),(0),(2))`
Manier 1:
Punt
`P`
van vlak
`ACD`
is te schrijven als
`(6-3p-3q, 2p, 2q)`
.
Dus
`y=2p`
en
`z=2q`
.
Substitueer
`p=1/2y`
en
`q=1/2z`
in
`x=6-3p-3q`
. Je krijgt
`x=6-3/2y-3/2z`
.
Herschrijven geeft:
`2x+3y+3z=12`
.
Manier 2:
Gebruik het uitproduct van beide richtingsvectoren.
Dit geeft
`vec(n)=((2), (3), (3))`
.
De vergelijking van het vlak is nu:
`2x+3y+3z=d`
.
`d`
vind je door een punt van het vlak in te vullen, neem punt
`(6, 0, 0)`
. Je vindt dat
`d=12`
.
Dus:
`2x+3y+3z=12`
.
Een punt van lijn
`PQ`
is te schrijven als
`(3 t, 2 -t, 4 -t)`
.
Als je dit invult in
`2 x+3 y+3 z=12`
geeft dat een tegenspraak.
Dit betekent dat lijn `PQ` vlak `ACD` niet snijdt en dus is lijn `PQ` evenwijdig met vlak `ACD` .
Andere manier:
Lijn
`PQ`
heeft als richtingsvector
`((text(-)6), (text(-)2), (2))`
.
Dit is een lineaire combinatie van de twee richtingsvectoren van vlak
`ACD`
, want
`((text(-)6), (2), (2))=((text(-)3),(2),(0))+((text(-)3),(0),(2))`
.
Dus lopen ze evenwijdig.
Maak een lijn
`m`
door
`F`
loodrecht op vlak
`ACD`
.
Hiervoor heb je een normaalvector nodig van dat vlak. Bij c heb je die gevonden, namelijk
`vec(n)=((2), (3), (3)).`
Lijn
`m: ((x), (y), (z))=((6), (4), (4))+q((2), (3), (3))`
.
Deze moet je snijden met het vlak
`ACD`
om het punt
`S`
te vinden dat het dichtst bij punt
`F`
ligt.
Een punt op
`m`
is te schrijven als
`(6+2q, 4+3q, 4+3q)`
. Als je dit invult in vlak
`ACD: 2x+3y+3z=12`
krijg je:
`2(6+2q)+3(4+3q)+3(4+3q)=12` en `22q=text(-)24` , zodat `q=text(-)12/11` .
En dus `S(42/11, 8/11, 8/11)` en `vec(FS)=((24/11), (36/11), (36/11))` .
Dus afstand van punt `F` tot vlak `ACD` is: `|vec(FS)|=sqrt((24/11)^2+(36/11)^2+(36/11)^2)~~5,12` .
`PQ: ((x),(y),(z))=((6),(0),(2))+s((text(-)3),(1),(1))`
`BG: ((x),(y),(z))=((6),(4),(0))+t((text(-)6),(0),(4))`
Voor een snijpunt moet gelden: `6-3s=6-6t` , `s=4` en `2+s=4t` .
`s=4` invullen in de derde vergelijking geeft `t=3/2` . Deze waarden voor `t` en `s` invullen in de eerste vergelijking geeft een tegenspraak ( `text(-)6≠text(-)3` ). Dus snijden de lijnen elkaar niet.
Vector `((3), (text(-)2), (13))` staat loodrecht op beide richingsvectoren.
Dus een vergelijking van he vlak is `3x-2y+13z=d` .
Vul punt `(3, 4, 0)` in. Dit geeft `d=1` .
`V: 3x-2y+13z=1` .
Neem als steunvector de vector naar een punt dat in het vlak ligt (en dus voldoet
aan de vergelijking), bijvoorbeeld
`((5), (0), (0))`
.
De twee richtingsvectoren die je nodig hebt moeten loodrecht staan op de normaalvector
van vlak
`W`
, dus op
`vec(n)=((2), (4), (text(-)1))`
.
Neem bijvoorbeeld
`vec(r_1)=((2), (text(-)1), (0))`
en
`vec(r_2)=((0), (1), (4))`
(dit kunnen ook twee andere zijn).
Dus een mogelijke vectorvoorstelling van vlak
`W`
is:
`((x), (y), (z))=((5), (0), (0))+p((2), (text(-)1), (0))+q((0), (1), (4))`
Je kunt `vec(OP)` gebruiken als normaalvector van vlak `V` .
`vec(OP)=((4), (2), (4))`
, dus de vergelijking van vlak
`V`
is te schrijven als
`4x+2y+4z=d`
.
`d`
vind je door punt
`G(0, 4, 4)`
in te vullen. Dat geeft
`d=24`
.
Dus vlak
`V: 4x+2y+4z=24`
of
`V: 2x+y+2z=12`
.
Kies twee richtingsvectoren die loodrecht staan op
`((2), (1), (2))`
.
Neem bijvoorbeeld:
`((1), (text(-)2), (0))`
en
`((1), (0), (text(-)1))`
.
Dus `V: ((x), (y), (z))= ((0), (4), (4))+p((1), (text(-)2), (0))+q((1), (0), (text(-)1))`
Snijd vlak
`V`
met de twaalf lijnen waar de ribben van de kubus op liggen en kijk welke punten op
de ribbe liggen.
Met
`OA`
, dan
`y=z=0`
:
`x=6`
, dit geeft
`(6, 0, 0)`
, dit voldoet niet.
Met
`AB`
, dan
`x=4`
en
`z=0`
:
`y=4`
, dit geeft
`B(4, 4, 0)`
.
Met
`BC`
en
`BF`
is ook punt
`B`
.
Met
`OC`
, dan
`x=z=0`
:
`y=12`
, dit geeft
`(0, 12, 0)`
, dit voldoet niet.
Met
`OD`
, dan
`x=y=0`
:
`z=6`
, dit geeft
`(0, 0, 6)`
, dit voldoet niet.
Met
`AE`
, dan
`x=4`
en
`y=0`
:
`z=2`
, dit geeft
`R(4, 0, 2)`
.
Met
`CG`
, dan
`x=0`
en
`y=4`
:
`z=4`
, dit geeft
`G(0, 4, 4)`
.
Met
`FG`
en
`DG`
ook punt
`G`
.
Met
`DE`
, dan
`y=0`
en
`z=4`
:
`x=2`
, dit geeft
`Q(2, 0, 4)`
.
Met
`EF`
, dan
`x=z=4`
:
`y=text(-)4`
, dit geeft
`(4, text(-)4, 4)`
, dit voldoet niet.
`BG: ((x),(y),(z))=((0),(4),(4))+a((1),(0),(text(-)1))` , `BR: ((x),(y),(z))=((4),(4),(0))+b((0),(2),(text(-)1))` , `RQ: ((x),(y),(z))=((4),(0),(2))+c((1),(0),(text(-)1))` , `QC: ((x),(y),(z))=((0),(4),(4))+d((text(-)1),(2),(0))`
`(0, 0, 6)` , `(0, 12, 0)` en `(6, 0, 0)`
Snijd
`OP`
met vlak
`V`
.
`OP: ((x), (y), (z))=p((4), (2), (4))`
. Een punt van
`OP`
kun je schrijven als
`(4p, 2p, 4p)`
.
Invullen in de vergelijking van vlak
`V`
geeft:
`2(4p)+2p+2(4p)=18p=12`
. Dus
`p=2/3`
.
Het snijpunt
`S`
van
`OP`
met vlak
`V`
is dus
`S(8/3, 4/3, 8/3)`
.
`PS=((4/3), (2/3), (4/3))` en `text(d)(P, V)=|PS|=sqrt((4/3)^2+(2/3)^2+(4/3)^2)=sqrt(4)=2` .
`((x),(y),(z))=((1),(0),(0))+p((1),(1),(1))+q((1), (2), (0))`
.
Uitproduct van
`vec(r_1)=((1),(1),(1))`
en
`vec(r_1)=((1),(2),(0))`
is
`vec(r_1) xx vec(r_2)=((text(-2)),(1),(1))`
.
Dus het vlak is te schrijven als
`2x-y-z=d`
.
Door bijvoorbeeld punt
`(1, 0, 0)`
in te vullen vind je
`d=2`
.
Dus vlak: `2x-y-z=2` .
`((2), (1), (text(-)3))`
en
`((text(-)4), (text(-)2), (6))`
hebben dezelfde richting, dus is het een lijn.
Lijn:
`((x),(y),(z))=t((2),(1),(text(-)3))`
.
`((x),(y),(z))=((1),(4),(text(-)1))+p((text(-)1),(text(-)1),(2))+q((3),(1), (text(-)4))`
Normaalvector
`vec(n)=((1), (1), (1))`
, dus het vlak is te schrijven als
`x+y+z=d`
.
Door bijvoorbeeld punt
`(1, 4, text(-)1)`
in te vullen vind je
`d=4`
.
Dus vlak: `x+y+z=4` .
`((x),(y),(z))=((1),(0),(1))+p((2),(text(-)3),(4))+q((text(-)1),(0), (0))`
Normaalvector
`vec(n)=((0), (4), (3))`
, dus het vlak is te schrijven als
`4y+3z=d`
.
Door bijvoorbeeld punt
`(1, 0, 1)`
in te vullen vind je
`d=3`
.
Dus vlak: `4y+3z=3` .
Lijn: `((x),(y),(z))=((1),(2),(0))+p((-1),(1),(0))`
Vectorvoorstelling vlak
`ABP: ((x), (y), (z))=((4), (0), (0))+p((0), (1), (0))+q((text(-)3), (1), ( 3))`
.
Normaalvector
`vec(n)=((1), (0), (1))`
. Dus vergelijking is te schrijven als:
`x+z=d`
.
`d=4`
vind je door punt
`A(4, 0, 0)`
in te vullen. Dus
`V: x+z=4`
.
Lijn
`CT: ((x), (y), (z))=((0), (4), (0))+r((2), (text(-)2), (6))`
.
Snijd deze lijn met vlak
`V`
, dit geeft
`2r+6r=4`
en dus
`r=1/2`
.
Invullen in lijn
`CT`
geeft
`Q(1, 3, 3)`
.
`vec(AB)=((0), (4), (0))` is een veelvoud van `vec(PQ)=((0), (2), (0))` en dus zijn `AB` en `PQ` evenwijdige lijnstukken. Dus `ABQP` is een trapezium.
`|AB|=4`
en
`|PQ|=2`
en
`|AP|=sqrt((text(-)3)^2+1^2+3^2)=sqrt(19)`
.
`h=sqrt((sqrt(19))^2-1^2))=sqrt(18)`
Oppervlakte
`ABPQ`
is
`3sqrt(18)=9sqrt(2)`
.
Lijn
`l`
door
`T`
loodrecht op vlak
`V`
opstellen:
`((x), (y), (z))=((2), (2), (6))+s((1), (0), (1))`
.
Deze lijn snijden met vlak
`V`
geeft:
`2+s+6+s=2s+8=4`
, dit geeft
`s=text(-)2`
.
Invullen in lijn
`l`
geeft snijpunt
`S(0, 2, 4)`
.
`text(d)(T, ABQP)=|TS|=sqrt((text(-)2)^2+0^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)` .
`Q`
vind je door vanuit
`B`
`1/3`
keer de richting van vector
`BT`
op te gaan.
`((0), (6), (0))+1/3((0), (text(-)6), (6))=((0), (4), (2))`
.
Dus `Q(0, 4, 2)` .
Vectorvoorstelling van vlak
`V: ((x), (y), (z))= ((0), (text(-)6), (0))+r((3), (6), (3))+s((0), (10), (2))`
.
Normaalvector van vlak
`V`
is
`vec(n)=((3), (1), (text(-5)))`
.
Dus vergelijking van vlak
`V`
is te schrijven als:
`3x+y-5z=d`
.
Je vindt
`d=text(-)6`
door punt
`D(0, text(-)6, 0)`
in te vullen.
Dus
`V: 3x+y-5z=text(-)6`
.
`BC:((x),(y),(z))=((0),(6),(0))+p((1),(1),(0))`
snijden met vlak
`V`
geeft:
`3p+6+p=4p+6=text(-)6`
. Dus
`p=text(-)3`
.
Dit invullen in
`BC`
geeft snijpunt
`R(text(-)3, 3, 0)`
.
Maak lijn
`l`
door
`O`
loodrecht op vlak
`V`
.
`l: ((x), (y), (z))=u((3), (1), (text(-)5))`
.
Deze lijn snijden met vlak
`V`
geeft:
`3(3u)+u-5(text(-)5u)=text(-)6`
. Dus
`u=text(-)6/35`
.
Invullen in lijn `l` geeft snijpunt `(text(-)18/35, text(-)6/35, 30/35)` .
Dus `text(d)(O, V)=sqrt((text(-)18/35)^2+(text(-)6/35)^2+(30/35)^2)=sqrt(1260/35)=6/35sqrt(35)~~1,01` .
`V: 3x+y-5z=text(-)6`
snijden met
`AC: ((x), (y), (z))=v((1), (0), (0))`
.
Je krijgt:
`3v=text(-)6`
, dus
`v=text(-)2`
. Invullen in
`AC`
geeft
`S(text(-)2, 0, 0)`
.
`|PS|=sqrt((text(-)5)^2+0^2+(text(-)3)^2)=sqrt(34)`
Eerste formule:
Maak lijn `l` door `O` loodrecht op vlak `V` :
`l:((x), (y), (z))=p((a), (b), (c))`
.
Deze lijn moet je snijden met vlak
`V`
.
Een punt op `l` is `(pa, pb, pc)` , vul dit in de vergelijking van vlak `V` in:
`pa^2+pb^2+pc^2=d` hieruit volgt dat `p=d/(a^2+b^2+c^2)` .
Deze waarde invullen in `l` geeft snijpunt `S((ad)/(a^2+b^2+c^2), (bd)/(a^2+b^2+c^2), (cd)/(a^2+b^2+c^2))` .
`d(O,V)=|OS|=sqrt(((ad)/(a^2+b^2+c^2))^2+((bd)/(a^2+b^2+c^2))^2+((cd)/(a^2+b^2+c^2))^2)`
`=sqrt((a^2d^2)/(a^2+b^2+c^2)^2+(b^2d^2)/(a^2+b^2+c^2)^2+(c^2d^2)/((a^2+b^2+c^2)^2))`
`=sqrt((d^2(a^2+b^2+c^2))/((a^2+b^2+c^2)^2))=sqrt((d^2)/(a^2+b^2+c^2))=|d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)`
Tweede formule:
Maak lijn `m` door `P` loodrecht op vlak `V` :
`m: ((x), (y), (z))=((p_1), (p_2), (p_3))=q((a), (b), (c))`
.
Deze lijn moet je snijden met vlak
`V`
.
Een punt op `m` is `(p_1+qa, p_2+qb, p_3+qc)` , vul deze in de vergelijking van vlak `V` in:
`p_1a+qa^2+p_2b+qb^2+p_3c+qc^2=d`
hieruit volgt dat
`p=(d-p_1a-p_2b-p_3c)/(a^2+b^2+c^2)`
Deze waarde invullen in
`m`
geeft snijpunt
`S((p_1+a(d-p_1a-p_2b-p_3c))/(a^2+b^2+c^2), (p_2+b(d-p_1a-p_2b-p_3c))/(a^2+b^2+c^2),
(p_3+c(d-p_1a-p_2b-p_3c))/(a^2+b^2+c^2))`
.
`text(d)(P, V)=|PS|=`
`sqrt(((a(d-p_1a-p_2b-p_3c))/(a^2+b^2+c^2))^2+((b(d-p_1a-p_2b-p_3c))/(a^2+b^2+c^2))^2+((c(d-p_1a-p_2b-p_3c))/(a^2+b^2+c^2))^2)`
`=sqrt((a^2(d-p_1a-p_2b-p_3c)^2)/(a^2+b^2+c^2)^2+(b^2(d-p_1a-p_2b-p_3c)^2)/(a^2+b^2+c^2)^2+(c^2(d-p_1a-p_2b-p_3c)^2)/((a^2+b^2+c^2)^2))`
`=sqrt(((d-p_1a-p_2b-p_3c)^2(a^2+b^2+c^2))/((a^2+b^2+c^2)^2))=sqrt(((d-p_1a-p_2b-p_3c)^2)/(a^2+b^2+c^2))=|d-p_1a-p_2b-p_3c|/sqrt(a^2+b^2+c^2)`
Vectorvoorstelling maken van lijn
`l`
door
`A`
naar het midden
`M(0, 1/2b, 1/2c)`
van
`BC`
.
`l: ((x), (y), (z))=((a), (0), (0))+p((text(-)a), (1/2b), (1/2c))`
.
Vectorvoorstelling maken van lijn
`m`
door
`B`
naar het midden
`N(1/2a, 0, 1/2c)`
van
`AC`
.
`m: ((x), (y), (z))=((0), (b), (0))+q((1/2a), (text(-)b), (1/2c))`
.
Voor het zwaartepunt moet je lijn `l` en lijn `m` met elkaar snijden, dit betekent dat:
(1)
`a-ap=1/2qa`
(2)
`1/2pb=b-qb`
(3)
`1/2pc=1/2qc`
Uit (3) volgt
`p=q`
, invullen in (2) geeft
`3/2bq=b`
, ofwel
`q=2/3=p`
.
Controleer door dit in te vullen in (1) geeft
`1/3a=1/3a`
, dit klopt ook.
Vul
`p=2/3`
in bij lijn
`l`
geeft
`Z=(1/3a, 1/3b, 1/3c)`
.
`|OZ|=sqrt((1/3a)^2+(1/3b)^2+(1/3c)^2)=sqrt(1/9(a^2+b^2+c^2))=1/3sqrt(a^2+b^2+c^2)` .
`S(4 , 3 , 7 )`
`3 x+8 y+12 z=120`
`(12 , 9 , 0 )`
`|PQ|=sqrt(1825)`
`text(d)(A, v)=96/217 sqrt(217)`