Soorten getallen

Soorten getallen > Gehele getallen

123456Gehele getallen

Voorbeeld 3

Een Pythagoreïsch tripel is een drietal getallen `a` , `b` , `c` dat voldoet aan `a^2 + b^2 = c^2` .
Bekende voorbeelden zijn de tripels `3, 4, 5` en `5, 12, 13` .
Ze zijn te vinden door twee gehele getallen $m$ en $n$ te kiezen ( `m \gt n` ) en dan `m^2 + n^2` , `m^2 - n^2` en `2mn` uit te rekenen.
Laat zien dat je zo inderdaad een Pythagoreïsch drietal krijgt.

> antwoord

De grootste van de drie uit te rekenen uitdrukkingen is `m^2 + n^2` .
Je moet daarom aantonen dat `(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2` .

Links van het is-gelijk-teken:
`(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 + n^4 - 2m^2n^2 + 4m^2n^2 = m^4 + n^4 + 2m^2n^2`
en rechts van het is-gelijk-teken
`(m^2 + n^2)^2 = m^4 + n^4 + 2m^2n^2`

Beide uitdrukkingen zijn identiek.
Dus krijg je zo inderdaad een drietal getallen dat aan de stelling van Pythagoras voldoet.
Krijg je zo ook echt ALLE Pythagoreïsche tripels? (Denk eens aan de veelvouden van een Pythagoreïsch tripel.)

Opgave 7

In Voorbeeld 3 kom je de Pythagoreïsche tripels tegen. Misschien ken je ze wel.

Loop zelf de berekening in het voorbeeld na.

Kies $m = 17$ en $n = 12$ . Welk Pythagoreïsch tripel levert dat op? Controleer nog even of het echt goed gaat.

Welke getallen moet je voor $m$ en $n$ kiezen om het tripel 3, 4, $5$ te krijgen?

Welke getallen moet je voor $m$ en $n$ kiezen om het tripel 5, 12, $13$ te krijgen?

Welke getallen moet je voor $m$ en $n$ kiezen om het tripel `56, 90, 106` te krijgen?

Opgave 8

In de Theorie kom je de priemgetalstelling tegen.

Laat zien dat $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67$ .

Schrijf `2009` als het product van priemgetallen.

Schrijf $15360$ als een product van priemgetallen.

Kun je deze stelling aantonen?

verder | terug